《2025年学习质量监测九年级数学上册人教版》

12. 如果在一块正方形的铁片的一边截去一个3 cm宽的矩形,剩下的面积是$40 cm^2$,那么这块正方形铁片的边长是多少？

答案： 设正方形铁片的边长为 $x$ cm。
根据题意，截去的矩形面积为 $3x$ $cm^2$（因为一边长为3 cm，另一边长为正方形的边长 $x$ cm）。
剩下的面积是 $x^2 - 3x = 40$ $cm^2$（正方形面积减去截去的矩形面积）。
整理得到一元二次方程：
$x^2 - 3x - 40 = 0$
因式分解该方程：
$(x - 8)(x + 5) = 0$
解得：
$x_1 = 8, \quad x_2 = -5$
由于边长不能为负数，所以 $x_2 = -5$ 不符合实际情况，舍去。
因此，正方形铁片的边长为 $8$ cm。

1. 方程$x^2 - xy - 2y^2 = 0$中,$x与y$的关系是(C).
A.$x = y或x = 2y$
B.$x = y或x = -2y$
C.$x = -y或x = 2y$
D.$x = -y或x = -2y$

答案： C

2. 已知等腰三角形的一边长是3,另两边的长是关于$x的方程x^2 - 4x + k = 0$的两个根,则$k$的值为(C).
A.3
B.4
C.3或4
D.7

答案： C

3. 若关于$x的一元二次方程(k + 2)x^2 + 6x + k^2 + k - 2 = 0$有一个根是0,则$k$的值是1.

答案： $k$的值是1（对应选项根据题目选项具体填写，本题要求填具体值则答案为1）。

4. 已知等腰三角形的两边长分别是一元二次方程$x^2 - 7x + 10 = 0$的两个根,则该等腰三角形的周长为12.

答案： 12

5. 用因式分解法解方程：$(2y - 5)^2 - (2y - 5) - 72 = 0$.

答案： 设 $m = 2y - 5$，则原方程可转化为：
$m^{2} - m - 72 = 0$，
因式分解得：
$(m - 9)(m + 8) = 0$，
由此得到两个方程：
$m - 9 = 0$，
$m + 8 = 0$，
解得：
$m_{1} = 9$，
$m_{2} = - 8$，
将 $m$ 的值代回 $m = 2y - 5$，得到两个方程：
$2y - 5 = 9$，
$2y - 5 = - 8$，
解得：
$y_{1} = 7$，
$y_{2} = - \frac{3}{2}$。

6. 放学后,甲、乙两个同学同时离开学校,甲以72 m/min的速度向正东方向步行,乙以135 m/min的速度向正北方向骑行,多少分钟后两人相距1 530 m？

答案： 设经过$ t $分钟后两人相距$ 1530 \, m $。
甲向正东方向行走的路程为$ 72t \, m $，乙向正北方向骑行的路程为$ 135t \, m $。
由勾股定理得：$(72t)^2 + (135t)^2 = 1530^2$。
计算得：$5184t^2 + 18225t^2 = 2340900$，即$23409t^2 = 2340900$。
两边同除以$23409$：$t^2 = 100$，解得$t = 10$（$t = -10$舍去）。
答：$10$分钟后两人相距$1530 \, m$。

7. 已知关于$x的一元二次方程x^2 - (k + 3)x + 2k + 2 = 0$.
(1)求证：方程总有两个实数根；
(2)若方程有一个根小于1,求$k$的取值范围.

答案：
(1)证明：对于方程$x^2 - (k + 3)x + 2k + 2 = 0$，
$a=1$，$b=-(k+3)$，$c=2k+2$，
判别式$\Delta = b^2 - 4ac = [-(k+3)]^2 - 4×1×(2k+2)$
$= (k^2 + 6k + 9) - 8k - 8 = k^2 - 2k + 1 = (k - 1)^2$，
$\because (k - 1)^2 \geq 0$，即$\Delta \geq 0$，
$\therefore$方程总有两个实数根。
(2)解：方程可因式分解为$(x - 2)(x - (k + 1)) = 0$，
$\therefore$方程的根为$x_1 = 2$，$x_2 = k + 1$。
$\because$方程有一个根小于$1$，且$x_1 = 2 ＞ 1$，
$\therefore x_2 = k + 1 ＜ 1$，解得$k ＜ 0$。
$\therefore k$的取值范围是$k ＜ 0$。