《2025年学习质量监测九年级数学上册人教版》

3. 已知$\odot O的半径为r$,圆心$O到直线l的距离为d$,且$r$,$d是关于x的一元二次方程x^{2} + 2mx + 1 = 0$的两个根. 当$m = - 1$时,直线$l和\odot O$的位置关系是相切.

答案： 相切

4. 在平面直角坐标系中,圆心$P的坐标为( - 3,4)$,以$r$为半径作圆. 若$\odot P与坐标轴有4$个公共点,则半径$r$的取值范围是r＞4且r≠5.

答案： r＞4且r≠5

5. 在$\triangle ABC$中,$\angle ACB = 90^{\circ}$,$AC = 6$,$BC = 8$,以点$C为圆心作\odot C$,使$\odot C与斜边AB$只有一个交点,试确定$\odot C的半径r$的取值范围.

答案： $r=\frac{24}{5}$或$6＜r\leq8$

6. 如图,菱形$ABCD的对角线AC$,$BD交于点O$,$AC = 8$,$BD = 6$,以点$A为圆心作\odot A$.
(1) 若$\odot A和直线BD$相切,求$\odot A$的半径；
(2) 若$\odot A和直线CD$相切,求$\odot A$的半径.

答案：
(1) 菱形对角线互相垂直平分，$AC=8$，则$AO=\frac{AC}{2}=4$。$\odot A$与$BD$相切，圆心$A$到直线$BD$的距离等于半径，又$AC\perp BD$，$A$到$BD$的距离为$AO=4$，故半径为$4$。
(2) 菱形边长$AD=\sqrt{AO^2+OD^2}=\sqrt{4^2+3^2}=5$。$S_{\triangle ACD}=\frac{1}{2}× AC× OD=\frac{1}{2}×8×3=12$。设$A$到$CD$的距离为$h$，则$S_{\triangle ACD}=\frac{1}{2}× CD× h$，$CD=5$，即$\frac{1}{2}×5× h=12$，解得$h=\frac{24}{5}$，故半径为$\frac{24}{5}$。
(1) $4$
(2) $\frac{24}{5}$

7. 如图,公路$MN和PQ在点P$处交汇,$\angle QPN = 30^{\circ}$,点$A$处有一所中学,$AP = 160\mathrm{m}$,若卡车行驶时,周围$100\mathrm{m}$内会受到噪音的影响,那么卡车在公路$MN上沿PN$方向行驶时,学校是否会受到噪音的影响？如果受到影响,已知卡车速度为$18\mathrm{km/h}$,求学校受到噪音影响的时间.

答案： 解：
1. 过点A作AB⊥MN于点B，AB为点A到公路MN的距离。
2. 在Rt△ABP中，∠APB=∠QPN=30°，AP=160m，

∴AB=AP·sin30°=160×0.5=80m。
3.
∵80m＜100m，
∴学校会受到噪音影响。
4. 以A为圆心，100m为半径作圆，交MN于C、D两点，连接AC、AD，则AC=AD=100m。
5. 在Rt△ABC中，BC=√(AC²-AB²)=√(100²-80²)=60m，同理BD=60m，

∴CD=BC+BD=60+60=120m。
6. 卡车速度v=18km/h=5m/s，

∴影响时间t=CD/v=120/5=24s。
结论： 学校会受到噪音影响，影响时间为24秒。