《2025年学习质量监测九年级数学上册人教版》

6. 用配方法解答下列各题：
(1)求$2x^2 - 7x + 3$的最小值,并确定此时$x$的值；
(2)求$- 3x^2 + 5x + 4$的最大值,并确定此时$x$的值.

答案：
(1)
首先，我们有：
$2x^{2} - 7x + 3$
$= 2(x^{2} - \frac{7}{2}x) + 3$
为了完成配方，我们需要加上和减去 $(\frac{7}{4})^{2} = \frac{49}{16}$：
$= 2(x^{2} - \frac{7}{2}x + \frac{49}{16} - \frac{49}{16}) + 3$
$= 2(x - \frac{7}{4})^{2} - \frac{49}{8} + 3$
$= 2(x - \frac{7}{4})^{2} - \frac{25}{8}$
由于 $2(x - \frac{7}{4})^{2}$ 的最小值为0（因为平方项总是非负的），所以 $2x^{2} - 7x + 3$ 的最小值为 $-\frac{25}{8}$，此时 $x = \frac{7}{4}$。
(2)
首先，我们有：
$-3x^{2} + 5x + 4$
$= -3(x^{2} - \frac{5}{3}x) + 4$
为了完成配方，我们需要加上和减去 $(\frac{5}{6})^{2} = \frac{25}{36}$：
$= -3(x^{2} - \frac{5}{3}x + \frac{25}{36} - \frac{25}{36}) + 4$
$= -3(x - \frac{5}{6})^{2} + \frac{25}{12} + 4$
$= -3(x - \frac{5}{6})^{2} + \frac{73}{12}$
由于 $-3(x - \frac{5}{6})^{2}$ 的最大值为0（因为平方项总是非负的，且前面有负号），所以 $-3x^{2} + 5x + 4$ 的最大值为 $\frac{73}{12}$，此时 $x = \frac{5}{6}$。

7. (1)根据要求,解答下列问题：
①方程$x^2 - 2x + 1 = 0$的根为$x_{1}=x_{2}=1$；
②方程$x^2 - 3x + 2 = 0$的根为$x_{1}=1$，$x_{2}=2$；
③方程$x^2 - 4x + 3 = 0$的根为$x_{1}=1$，$x_{2}=3$；
……
(2)根据以上方程特征及其根的特征,猜想：
①方程$x^2 - 9x + 8 = 0$的根为$x_{1}=1$，$x_{2}=8$；
②关于$x$的方程$x^{2}-(1 + n)x + n = 0$的根为$x_1 = 1$,$x_2 = n$.
(3)请用配方法解方程$x^2 - 9x + 8 = 0$,以验证猜想的正确性.

答案：
(1)
①对于方程$x^{2}-2x + 1 = 0$，
由完全平方公式$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$，可得$(x - 1)^{2}=0$，
则$x-1 = 0$，
解得$x_{1}=x_{2}=1$。
②对于方程$x^{2}-3x + 2 = 0$，
因式分解得$(x - 1)(x - 2)=0$，
则$x-1 = 0$或$x - 2=0$，
解得$x_{1}=1$，$x_{2}=2$。
③对于方程$x^{2}-4x + 3 = 0$，
因式分解得$(x - 1)(x - 3)=0$，
则$x-1 = 0$或$x - 3=0$，
解得$x_{1}=1$，$x_{2}=3$。
(2)
①根据以上方程特征及其根的特征，方程$x^{2}-9x + 8 = 0$，
因式分解为$(x - 1)(x - 8)=0$，
则$x-1 = 0$或$x - 8=0$，
解得$x_{1}=1$，$x_{2}=8$。
②关于$x$的方程$x^{2}-(1 + n)x+n = 0$的根为$x_{1}=1$，$x_{2}=n$。
(3)
对于方程$x^{2}-9x + 8 = 0$，
移项得$x^{2}-9x=-8$，
配方：$x^{2}-9x+\frac{81}{4}=-8+\frac{81}{4}$，
即$(x-\frac{9}{2})^{2}=\frac{49}{4}$，
开方得$x-\frac{9}{2}=\pm\frac{7}{2}$，
当$x-\frac{9}{2}=\frac{7}{2}$时，$x = 8$；
当$x-\frac{9}{2}=-\frac{7}{2}$时，$x = 1$。
所以$x_{1}=1$，$x_{2}=8$，验证了
(2)中①的猜想正确。
综上，答案依次为：
(1)①$x_{1}=x_{2}=1$；②$x_{1}=1$，$x_{2}=2$；③$x_{1}=1$，$x_{2}=3$；
(2)①$x_{1}=1$，$x_{2}=8$；②$x^{2}-(1 + n)x + n = 0$；
(3)见上述解方程过程。