《2025年学习质量监测九年级数学上册人教版》

6. 如图,三角形的两边$AB$,$BC$之和为20 cm,且这两边的夹角为$120^{\circ}$,求三角形面积的最大值；当面积最大时,这两边的长各是多少？
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答案： 设 $AB = x$ cm，$BC = y$ cm，由题意得 $x + y = 20$。
三角形面积 $S$ 可表示为：
$S = \frac{1}{2}xy\sin 120^{\circ} = \frac{\sqrt{3}}{4}xy$，
由 $x + y = 20$，得 $y = 20 - x$，代入面积公式得：
$S = \frac{\sqrt{3}}{4}x(20 - x) = \frac{\sqrt{3}}{4}(20x - x^{2}) = -\frac{\sqrt{3}}{4}(x^{2} - 20x) = -\frac{\sqrt{3}}{4}(x - 10)^{2} + 25\sqrt{3}$，
由于 $-\frac{\sqrt{3}}{4} ＜ 0$，这是一个开口向下的二次函数，因此当 $x = 10$ 时，$S$ 取得最大值 $25\sqrt{3}$。
此时，$y = 20 - x = 10$。
答：三角形面积的最大值为 $25\sqrt{3}$ cm²，当面积最大时，$AB = BC = 10$ cm。

7. 某市政府大力扶持大学生创业。李明在政府的扶持下投资销售一种进价为每件20元的台灯,销售过程中发现,每月销售量$y$(单位：台)与销售单价$x$(单位：元)之间的关系可近似地看作一次函数$y= -10x + 500$。
(1)设李明每月获得利润为$w$(单位：元),当销售单价定为多少元时,每月可获得最大利润？
(2)如果李明想要每月获得2 000元的利润,那么销售单价应定为多少元？
(3)根据物价部门规定,这种台灯的销售单价不得高于32元,如果李明想要每月获得的利润不低于2 000元,那么他每月的成本最少需要多少元？(成本$=进价×$销售量)

答案：
(1)
解：
由题意，总利润 $w$ = (销售单价 - 进价) $×$ 销售量。
即 $w = (x - 20) × (-10x + 500)$
$= -10x^2 + 500x + 200x - 10000$
$= -10x^2 + 700x - 10000$
$= -10(x^2 - 70x) - 10000$
$= -10(x^2 - 70x + 1225) + 12250 - 10000$
$= -10(x - 35)^2 + 2250$
由于 $a = -10 ＜ 0$，函数有最大值，当 $x = 35$ 时，$w$ 达到最大值 2250 元。
答：当销售单价定为 35 元时，每月可获得最大利润。
(2)
解：
由题意，要求 $w = 2000$，
即 $-10x^2 + 700x - 10000 = 2000$，
整理得 $x^2 - 70x + 1200 = 0$，
解得 $x_1 = 30, x_2 = 40$。
答：李明想要每月获得 2000 元的利润，销售单价应定为 30 元或 40 元。
(3)
解：
由题意，销售单价 $x$ 的范围是 $20 ＜ x \leq 32$。
由
(2) 可知，当 $x = 30$ 时，$w = 2000$，
又因为 $w$ 在 $20 ＜ x \leq 32$ 范围内随 $x$ 增大而增大（由 $w = -10(x - 35)^2 + 2250$ 可知），
所以当 $30 \leq x \leq 32$ 时，$w \geq 2000$。
成本 $P = 20 × (-10x + 500) = -200x + 10000$，
由于 $P$ 随 $x$ 增大而减小，当 $x = 32$ 时，$P$ 最小，
$P_{最小} = -200 × 32 + 10000 = 3600$。
答：想要每月获得的利润不低于 2000 元，每月的成本最少为 3600 元。