《2025年学习质量监测九年级数学上册人教版》

6. 不解方程,判断关于 $x$ 的方程 $x^{2}-2mx + m - 2 = 0$ 的根的情况.

答案： 在本题中，$a = 1$，$b = -2m$，$c = m - 2$。
$\Delta=b^{2}-4ac$
$=(-2m)^{2}-4×1×(m - 2)$
$= 4m^{2}-4m + 8$
$=4(m^{2}-m + 2)$
$=4[(m - \frac{1}{2})^{2}+\frac{7}{4}]$
因为$(m - \frac{1}{2})^{2}\geq0$，所以$(m - \frac{1}{2})^{2}+\frac{7}{4}\gt0$。
则$\Delta = 4[(m - \frac{1}{2})^{2}+\frac{7}{4}]\gt0$。
所以，方程有两个不相等的实数根。

7. 用公式法解方程 $\sqrt{2}x^{2}+2\sqrt{6}x= \sqrt{2}$,有一位同学的解答过程如下：
$\because$ 在方程 $\sqrt{2}x^{2}+2\sqrt{6}x= \sqrt{2}$ 中,$a= \sqrt{2}$,$b = 2\sqrt{6}$,$c= \sqrt{2}$,
$\therefore b^{2}-4ac= (2\sqrt{6})^{2}-4×\sqrt{2}×\sqrt{2}= 16$,
$\therefore x= \frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}= \frac{-2\sqrt{6}\pm\sqrt{16}}{2\sqrt{2}}= -\sqrt{3}\pm\sqrt{2}$.
故 $x_{1}= -\sqrt{3}+\sqrt{2}$,$x_{2}= -\sqrt{3}-\sqrt{2}$.
请你分析以上解答过程有无错误,如果有错误,请指出错误的地方,并写出正确的解答过程.

答案： 该同学的解答过程有错误，错误之处：方程未化为一般形式时确定$c$的值错误，在计算判别式$\Delta = b^{2}-4ac$时代入$c$的值错误，从而导致后续计算错误。
正确解答过程：
将原方程$\sqrt{2}x^{2}+2\sqrt{6}x = \sqrt{2}$化为一般形式为$\sqrt{2}x^{2}+2\sqrt{6}x - \sqrt{2}=0$。
其中$a = \sqrt{2}$，$b = 2\sqrt{6}$，$c = -\sqrt{2}$。
$\Delta = b^{2}-4ac=(2\sqrt{6})^{2}-4×\sqrt{2}×(-\sqrt{2}) = 24 + 8 = 32$。
$x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{-2\sqrt{6}\pm\sqrt{32}}{2\sqrt{2}}=\frac{-2\sqrt{6}\pm4\sqrt{2}}{2\sqrt{2}}=-\sqrt{3}\pm2$。
所以$x_{1}=-\sqrt{3}+2$，$x_{2}=-\sqrt{3}-2$。