《2025年学习质量监测九年级数学上册人教版》

5. 如图,$AB为\odot O$的直径,$PD切\odot O于点C$,与$AB的延长线交于点D$,$DE\perp PO$,交$PO的延长线于点E$,连接$AP$,$\angle EDA = \angle EPA$.
(1)求证：$PA与\odot O$相切；
(2)若$PA = 6$,$DA = 8$,求$\odot O$的半径.
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答案：
(1) 见解析；
(2) 3。

6. 如图,$PA$,$PB是\odot O$的切线,$A$,$B$为切点,弦$BC// PA$,连接$AB$,$AC$.求证：
(1)$\angle PBA = \angle ABC$；
(2)$AB = AC$.
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答案：
(1)
∵PA，PB是⊙O的切线，
∴PA=PB（切线长定理），
∴∠PAB=∠PBA（等腰三角形底角相等）。
∵BC//PA，
∴∠PAB=∠ABC（两直线平行，内错角相等），
∴∠PBA=∠ABC。
(2) 连接OA，
∵PA是⊙O的切线，
∴OA⊥PA（切线垂直于过切点的半径）。
∵BC//PA，
∴OA⊥BC（垂直于平行线中的一条必垂直于另一条）。由垂径定理得OA垂直平分BC，
∴AB=AC（线段垂直平分线上的点到两端点距离相等）。

7. 如图,$AB$,$AC$,$BE都与\odot O$相切,$D$,$C$,$E$是切点,且$AC// BE$,连接$CD$,$ED$.
(1)求证：$\angle CDE = 90^{\circ}$；
(2)若$AC = 9$,$BE = 4$,求$\odot O$的半径.
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答案：
(1) 证明见上；
(2) 6。