《2025年学习质量监测九年级数学上册人教版》

6. 如图,在平面直角坐标系中,二次函数 $ y = ax^{2}+4x - 3 $ 的图象顶点是 $ A $,与 $ x $ 轴交于 $ B $, $ C $ 两点,与 $ y $ 轴交于点 $ D $,点 $ B $ 的坐标是 $ (1,0) $.
(1)求 $ A $, $ C $ 两点的坐标,并根据图象直接写出当 $ y\gt0 $ 时 $ x $ 的取值范围；
(2)平移该二次函数的图象,使点 $ D $ 恰好落在点 $ A $ 的位置上,求平移后的图象所对应的二次函数的解析式.

答案：
(1)
将 $B(1,0)$ 代入 $y = ax^{2}+4x - 3$，得 $a×1^{2}+4×1 - 3 = 0$，
解得 $a = - 1$，
所以二次函数解析式为 $y=-x^{2}+4x - 3$。
将解析式化为顶点式：$y=-(x - 2)^{2}+1$，
所以顶点 $A$ 的坐标为 $(2,1)$。
因为二次函数对称轴为 $x = 2$，$B(1,0)$，$B$、$C$ 关于对称轴对称，
设 $C(x,0)$，则 $\frac{1 + x}{2}=2$，
解得 $x = 3$，
所以 $C(3,0)$。
由图象可知，当 $y\gt0$ 时，$1\lt x\lt3$。
(2)
当 $x = 0$ 时，$y=-(0)^{2}+4×0 - 3=-3$，
所以 $D(0,-3)$。
点 $D(0,-3)$ 平移到点 $A(2,1)$，横坐标的变化为 $2 - 0 = 2$，纵坐标的变化为 $1-(-3)=4$。
所以原二次函数图象向右平移 $2$ 个单位，向上平移 $4$ 个单位。
则平移后二次函数解析式为 $y=-(x - 2 - 2)^{2}+1 + 4=-(x - 4)^{2}+5=-x^{2}+8x - 11$。
综上，答案为：
(1) $A(2,1)$，$C(3,0)$，$1\lt x\lt3$；
(2) $y=-x^{2}+8x - 11$。

7. 已知抛物线 $ y = ax^{2}-2ax + c $ ( $ a $, $ c $ 为常数, $ a\neq0 $)经过点 $ C(0,-1) $,顶点为 $ D $.
(1)当 $ a = 1 $ 时,
①求该抛物线的顶点坐标；
②点 $ E $ 为 $ (0,2) $,求 $ DE $, $ CD $ 的长.
(2)如图,当 $ a\gt0 $ 时,点 $ E $ 为 $ (0,1 + a) $,若 $ DE = 2\sqrt{2}DC $,求该抛物线的解析式.

答案：
(1)①
∵抛物线过点$C(0,-1)$，代入$y=ax^2 - 2ax + c$得$c=-1$。
当$a=1$时，抛物线为$y=x^2 - 2x - 1$，顶点横坐标$x=-\frac{-2}{2×1}=1$，代入得$y=1^2 - 2×1 - 1=-2$，
∴顶点$D(1,-2)$。
②$C(0,-1)$，$E(0,2)$，$D(1,-2)$。
$CD=\sqrt{(1 - 0)^2 + (-2 + 1)^2}=\sqrt{1 + 1}=\sqrt{2}$；
$DE=\sqrt{(0 - 1)^2 + (2 + 2)^2}=\sqrt{1 + 16}=\sqrt{17}$。
(2)由$C(0,-1)$得$c=-1$，抛物线为$y=ax^2 - 2ax - 1$，顶点$D(1,-a - 1)$。
$DC=\sqrt{(1 - 0)^2 + (-a - 1 + 1)^2}=\sqrt{1 + a^2}$，
$DE=\sqrt{(0 - 1)^2 + (1 + a + a + 1)^2}=\sqrt{1 + (2a + 2)^2}$。
∵$DE=2\sqrt{2}DC$，
∴$\sqrt{1 + (2a + 2)^2}=2\sqrt{2}\sqrt{1 + a^2}$，
平方得$1 + 4a^2 + 8a + 4=8(1 + a^2)$，整理$4a^2 - 8a + 3=0$，
解得$a=\frac{1}{2}$或$a=\frac{3}{2}$。
∴抛物线解析式为$y=\frac{1}{2}x^2 - x - 1$或$y=\frac{3}{2}x^2 - 3x - 1$。
答案
(1)①$(1,-2)$；②$DE=\sqrt{17}$，$CD=\sqrt{2}$；
(2)$y=\frac{1}{2}x^2 - x - 1$或$y=\frac{3}{2}x^2 - 3x - 1$。