《2025年学习质量监测九年级数学上册人教版》

4. (2023,杭州,14)如图,六边形 ABCDEF 是$\odot O$的内接正六边形,设正六边形 ABCDEF 的面积为$S_1$,$\triangle ACE的面积为S_2$,则$\frac{S_1}{S_2}= $2.
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答案： 2

5. 如图,已知正六边形 ABCDEF 的边长为 2,P 是 DE 的中点,连接 AP,求 AP 的长.
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答案： $\sqrt{13}$

6. 在图①、图②、图③、…、图ⓝ中,M,N 分别是$\odot O$的内接正三角形 ABC、正方形 ABCD、正五边形 ABCDE、…、正$n$边形 ABCDEFG…的边 AB,BC 上的点,且$BM = CN$,连接$OM$,$ON$.
(1)求图①、图②、图③中$\angle MON$的度数;
(2)试探究$\angle MON的度数与正n边形的边数n$的关系(直接写出答案).
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答案：
(1)120°，90°，72°；
(2)∠MON=360°/n。

7. 如图①~③分别是由有公共顶点 A 的两个正三角形、两个正方形和两个正五边形组成的图形,且其中一个正多边形的顶点$B'$在另一个正多边形的边 BC 上.
(1)求图①中$\angle B'CC'$的度数;
(2)图②中,$\angle B'CC'= $______;
(3)图③中,$\angle B'CC'= $______;
(4)当两个满足条件的图形为正$n$边形时,直接写出你对$\angle B'CC'的度数与边数n$之间的关系的猜想.
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(1) ∵△ABC和△AB'C'为正三角形，∴∠BAC=∠B'AC'=60°，AB=AC，AB'=AC'，∠ACB=60°。
∵∠BAC - ∠B'AC=∠B'AC' - ∠B'AC，∴∠BAB'=∠CAC'。
设∠BAB'=∠CAC'=α，在△ABB'中，AB=AB'，∴∠ABB'=(180°-α)/2。
∵∠ABC=60°，∴(180°-α)/2=60° - ∠B'CC'。
在△ACC'中，AC=AC'，∠ACC'=60° - ∠B'CC'，∴∠CAC'=180° - 2(60° - ∠B'CC')=60° + 2∠B'CC'。
又α=60° + 2∠B'CC'，代入(180°-α)/2=60° - ∠B'CC'，解得∠B'CC'=30°。
(2) 22.5°
(3) 18°
(4) ∠B'CC'=90°/n

答案：
(1)
∵△ABC和△AB'C'为正三角形，
∴∠BAC=∠B'AC'=60°，AB=AC，AB'=AC'，∠ACB=60°。
∵∠BAC - ∠B'AC=∠B'AC' - ∠B'AC，
∴∠BAB'=∠CAC'。
设∠BAB'=∠CAC'=α，在△ABB'中，AB=AB'，
∴∠ABB'=(180°-α)/2。
∵∠ABC=60°，
∴(180°-α)/2=60° - ∠B'CC'。
在△ACC'中，AC=AC'，∠ACC'=60° - ∠B'CC'，
∴∠CAC'=180° - 2(60° - ∠B'CC')=60° + 2∠B'CC'。
又α=60° + 2∠B'CC'，代入(180°-α)/2=60° - ∠B'CC'，解得∠B'CC'=30°。
(2) 22.5°
(3) 18°
(4) ∠B'CC'=90°/n