《2025年同步测控优化设计九年级数学上册人教版精编版》

8. 图中的粗线 $ CD $ 表示某条公路的一段,其中$\overset{\frown}{AmB}$是一段圆弧,$ AC,BD $ 是线段,且 $ AC,BD $ 分别与圆弧$\overset{\frown}{AmB}$相切于点 $ A,B $,线段 $ AB = 180 m $,$ \angle ABD = 150^{\circ} $.

(1)画出圆弧$\overset{\frown}{AmB}$的圆心 $ O $；
(2)求 $ A $ 到 $ B $ 这段弧形公路的长.

答案：
解：
(1)如图，过点A作$AO\perp AC$，过点B作$BO\perp BD$，AO与BO相交于点O，O即为圆心.
　　　　　　　　
(2)因为AO，BO都是圆弧$\overset{\frown}{AmB}$的半径，O是其所在圆的圆心，所以$\angle OBA=\angle OAB=150^{\circ}-90^{\circ}=60^{\circ}$.
　　　所以$\triangle AOB$为等边三角形，即$AO=BO=AB=180m$.
　　　所以$\overset{\frown}{AB}=\frac{60×\pi×180}{180}=60\pi(m)$，即A到B这段弧形公路的长为$60\pi m$.

9. 如图,$ AB $ 为 $ \odot O $ 的直径,$ CD \perp AB $,$ OF \perp AC $,垂足分别为 $ E,F $.
(1)请写出三条与 $ BC $ 有关的正确结论；
(2)当 $ \angle D = 30^{\circ} $,$ BC = 1 $ 时,求圆中阴影部分的面积.

答案： 解：
(1)答案不唯一，只要合理均可.例如：①$BC=BD$；②$OF// BC$；③$\angle BCD=\angle A$；④$BC^{2}=CE^{2}+BE^{2}$；⑤$\triangle ABC$是直角三角形；⑥$\triangle BCD$是等腰三角形.
(2)连接OC（图略），则$OC=OA=OB$.
　　　$\because \angle D=30^{\circ}$，$\therefore \angle A=\angle D=30^{\circ}$，$\therefore \angle AOC=120^{\circ}$.
　　　$\because AB$为$\odot O$的直径，$\therefore \angle ACB=90^{\circ}$.
　　　在$Rt\triangle ABC$中，$BC=1$，$\therefore AB=2$，$AC=\sqrt{3}$.
　　　$\because OF\perp AC$，$\therefore AF=CF$.
　　　$\because OA=OB$，$\therefore OF$是$\triangle ABC$的中位线，$\therefore OF=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}$.
　　　$\therefore S_{\triangle AOC}=\frac{1}{2}AC\cdot OF=\frac{1}{2}×\sqrt{3}×\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{3}}{4}$，$S_{扇形AOC}=\frac{1}{3}\pi\cdot OA^{2}=\frac{\pi}{3}$.
　　　$\therefore S_{阴影}=S_{扇形AOC}-S_{\triangle AOC}=\frac{\pi}{3}-\frac{\sqrt{3}}{4}$.

10. 图①是某学校存放学生自行车的车棚的示意图(尺寸如图),车棚顶部是圆柱侧面的一部分,其展开图是矩形. 图②是车棚顶部截面的示意图,$\overset{\frown}{AB}$所在圆的圆心为 $ O $. 车棚顶部是用一种帆布覆盖的,求覆盖棚顶的帆布的面积.(不考虑接缝等因素,计算结果保留 $ \pi $)
图①
图②

答案：
分析：车棚的顶棚的展开图是矩形，顶棚的横截面是弓形，求出弓形的弧长，即得到了展开图的宽.
解：如图，连接OB，过点O作$OE\perp AB$，垂足为点E，并延长交$\overset{\frown}{AB}$于点F.
　　　　　　　　
　　　由垂径定理，知E是AB的中点，F是$\overset{\frown}{AB}$的中点，从而EF是弓形的高.
　　　故$AE=\frac{1}{2}AB=2\sqrt{3}m$，$EF=2m$.
　　　设半径为$R m$，则$OE=(R - 2)m$.
　　　在$Rt\triangle AOE$中，由勾股定理，得$R^{2}=(R - 2)^{2}+(2\sqrt{3})^{2}$.
　　　解得$R = 4(m)$.
　　　在$Rt\triangle AEO$中，$AO = 2OE$，故$\angle OAE = 30^{\circ}$，$\angle AOE = 60^{\circ}$，$\angle AOB = 120^{\circ}$.
　　　所以$\overset{\frown}{AB}$的长为$\frac{120×4\pi}{180}=\frac{8\pi}{3}(m)$.
　　　即帆布的面积为$\frac{8\pi}{3}×60 = 160\pi(m^{2})$.