《2025年同步测控优化设计九年级数学上册人教版精编版》

9. 如图,直线 $ l $ 经过 $ A(4,0) $ 和 $ B(0,4) $ 两点,它与抛物线 $ y = ax^{2} $ 在第一象限内相交于点 $ P $。已知 $ \triangle AOP $ 的面积为 $ 4 $,求实数 $ a $ 的值。

答案： 解 由A,B两点的坐标及△AOP的面积可知P是AB的中点,从而可得△OAP是等腰直角三角形. 如图,过点P作PC⊥OA于点C,可求得点P的坐标为(2,2),将(2,2)代入y=ax²,解得a=1/2.

★10. 如图,图甲是某河床横断面的示意图。查阅该河段的水文资料,得到下表中的数据：


(1)请你以上表中的各对数据 $ (x,y) $ 作为点的坐标,尝试在图乙所示的坐标系中画出 $ y $ 关于 $ x $ 的函数图象。
(2)①填写下表：

200 200 200 200 200 200
②根据所填表中呈现的规律,猜想出用 $ x $ 表示 $ y $ 的二次函数的解析式y=1/200x²。
(3)当水面宽度为 $ 36\ m $ 时,一艘吃水深度(船底部到水面的距离)为 $ 1.8\ m $ 的货船能否在这个河段安全通过？请说明理由。
当水面宽度为36 m时,相应的x为18,此时水面中心的深度y=1/200×18²=1.62(m). 因为货船吃水深度为1.8 m,1.62＜1.8,所以当水面宽度为36 m时,货船不能通过这个河段.

答案： 解
(1)y关于x的图象如图所示.
(2)①200 200 200 200 200 200
②y=1/200x²
(3)当水面宽度为36 m时,相应的x为18,此时水面中心的深度y=1/200×18²=1.62(m). 因为货船吃水深度为1.8 m,1.62＜1.8,所以当水面宽度为36 m时,货船不能通过这个河段.

11. 某工厂要赶制一批大型活动板房。如图，板房一面的形状是由矩形和抛物线的一部分组成，矩形长为$12m$，抛物线拱高为$5.6m$。
(1)根据如图所示的平面直角坐标系,求抛物线的解析式；
(2)现需在抛物线 $ AOB $ 的区域内安装几扇窗户,窗户的底边在 $ AB $ 上,每扇窗户宽为 $ 1.5\ m $,高为 $ 1.6\ m $,相邻窗户之间的间距均为 $ 0.8\ m $,左右两边窗户的窗角所在的点到抛物线的水平距离至少为 $ 0.8\ m $。请计算最多可安装几扇这样的窗户？

答案： 解
(1)设抛物线的解析式为y=ax²,点B(6,-5.6)在抛物线上,则-5.6=36a,a=-7/45. 故抛物线的解析式为y=-7/45x².
(2)如图,设窗户上边所在直线交抛物线于C,D两点,点D坐标为(k,t),已知窗户高1.6 m,则t=-5.6-(-1.6)=-4,-4=-7/45k²,解得k₁≈5.07,k₂≈-5.07(舍去). 故CD≈5.07×2=10.14(m). 又设最多可安装n扇窗户,则1.5n+0.8(n+1)≤10.14,解得n≤4.06. 答:最多可安装4扇窗户.