《2025年同步测控优化设计九年级数学上册人教版精编版》

3. 我国古代数学经典著作《九章算术》中记载了一个“圆材埋壁”的问题：“今有圆材埋在壁中,不知大小。以锯锯之,深一寸,锯道长一尺。问径几何？”意思是：今有一圆柱形木材,埋在墙壁中,不知其大小。如图,用锯去锯这木材,锯口深 $ED = 1$ 寸,锯道长 $AB = 1$ 尺(注：尺、寸是我国古代计量单位,$1$ 米 $= 3$ 尺,$1$ 尺 $= 10$ 寸)。问这根圆形木材的直径是26寸。

答案： 26

4. 已知 $AB$ 是 $\odot O$ 的弦,$OM \perp AB$,垂足为 $M$,连接 $OA$。若 $\triangle AOM$ 中有一个角是 $30^{\circ}$,$OM = 2\sqrt{3}$,则弦 $AB$ 的长为12或4。

答案： 12或4

★5. 小敏利用课余时间制作了一个脸盆架,它的截面图如图所示,垂直放置的脸盆与架子的交点为 $A$,$B$,$AB = 40$ cm,脸盆的最低点 $C$ 到 $AB$ 的距离为 $10$ cm,则该脸盆的半径为25cm。

答案： 25

6. 如图,在 $\odot O$ 中,$OD$ 平分弦 $AB$,$OE$ 平分弦 $AC$,求证：$AM = AN$。

答案： 证明：
∵OD平分弦AB,OE平分弦AC,
∴OD⊥AB,OE⊥AC;
∴∠D+∠DMB=90°,∠E+∠ENC=90°.
∵OD=OE,
∴∠D=∠E.
∴∠DMB=∠ENC,
即∠AMN=∠ANM.
∴AM=AN.

7. 如图,将一个两边都带有刻度的直尺放在半圆形纸片上,使其一边经过圆心 $O$,另一边所在直线与半圆相交于点 $D$,$E$,量出半径 $OC = 5$ cm,弦 $DE = 8$ cm。求直尺的宽。

答案： 解：如图，过点O作OM⊥DE，垂足为M,连接OD.
则DM= $\frac{1}{2}$DE.
∵DE=8cm,
∴DM=4cm.
在Rt△ODM中，
∵OD=OC=5cm,
∴OM= $\sqrt{OD^2 - DM^2}$
= $\sqrt{5^2 - 4^2}$=3(cm).
∴直尺的宽度为3cm.

★8. 如图,铁路 $MN$ 和公路 $PQ$ 在点 $O$ 处交会,$\angle QON = 30^{\circ}$。在点 $A$ 处有一栋居民楼,$AO = 200$ m,如果火车行驶时,周围 $200$ m 以内会受噪音影响,那么火车在铁路 $MN$ 上沿 $ON$ 方向行驶时,居民楼会受到影响。如果火车行驶的速度是 $72$ km/h,那么居民楼受噪音影响的时间约为多少秒？(参考数据：$\sqrt{3} \approx 1.732$,结果精确到 $0.1$ s)

答案： 分析：要求居民楼受噪音影响的时间，首先要求出受噪音影响的路段，以A为圆心，200m为半径的圆形区域内受噪音的影响，⊙A与MN的交点之间的线段即为受影响的路段，利用垂径定理与勾股定理即可求出此线段的长度.
解：如图，过点A作AD⊥MN,垂足为D,∠AOD=30°,
则AD= $\frac{1}{2}$OA=100m.
以A为圆心,200m为半径的⊙A与MN交于点O,B，于是线段OB为居民楼受噪音影响的路段.
在Rt△ODA中,
OD= $\sqrt{OA^2 - AD^2}$
= $\sqrt{200^2 - 100^2}$=100$\sqrt{3}$(m).
因为AD⊥MN,所以OB=200$\sqrt{3}$m.
由于火车行驶的速度为72km/h,
即为20m/s,200$\sqrt{3}$÷20≈17.3(s).
因此，居民楼受噪音影响的时间约为17.3s.