《2025年同步测控优化设计九年级数学上册人教版精编版》

10. 小张和小林一起解方程$x(3x + 2) - 6(3x + 2) = 0$。小张将方程左边分解因式,得$(3x + 2)(x - 6) = 0$,所以$3x + 2 = 0或x - 6 = 0$。方程的两个解为$x_{1} = - \frac{2}{3}$,$x_{2} = 6$。小林的解法是这样的：移项,得$x(3x + 2) = 6(3x + 2)$,方程两边都除以$(3x + 2)$,得$x = 6$。
小林说：“我的方法多简便！”可另一个解$x = - \frac{2}{3}$哪里去了？你能解开这个谜吗？

答案： 解 小林忽略了3x+2可能为0的情况,等式两边不能同时除以一个等于零的整式.

★11. 在因式分解中,有一类形如$x^{2} + (m + n)x + mn$的多项式,其常数项是两个因数的积,而它的一次项系数恰是这两个因数的和,则我们可以把它分解成$x^{2} + (m + n)x + mn = (x + m)(x + n)$,例如：$x^{2} + 5x + 6 = x^{2} + (2 + 3)x + 2×3 = (x + 2)(x + 3)$；$x^{2} - 5x - 6 = x^{2} + (1 - 6)x + 1×(- 6) = (x + 1)(x - 6)$。
根据上面的材料,用因式分解法解下列方程：
(1)$x^{2} + 3x + 2 = 0$；
(2)$x^{2} - 2x - 3 = 0$。

答案：
(1)
∵x²+3x+2=x²+(1+2)x+1×2=(x+1)(x+2)=0，
∴x+1=0或x+2=0.
∴x₁=-1,x₂=-2.
(2)
∵x²-2x-3=x²+(-3+1)x+1×(-3)=(x+1)(x-3)=0，
∴x+1=0或x-3=0.
∴x₁=-1,x₂=3.

★12. 阅读下面的内容：
已知关于$x的方程ax^{2} + bx + c = 0(a \neq 0)满足a + b + c = 0$,求证：它的两根分别是$x_{1} = 1$,$x_{2} = \frac{c}{a}$。
证明：$\because a + b + c = 0$,$\therefore c = - a - b$。将其代入$ax^{2} + bx + c = 0$,得$ax^{2} + bx - a - b = 0$,即$a(x^{2} - 1) + b(x - 1) = 0$,$(x - 1)(ax + a + b) = 0$,$\therefore x_{1} = 1$,$x_{2} = \frac{- a - b}{a} = \frac{c}{a}$。
(1)请利用上面推导出来的结论,快速求解下列方程：
①$5x^{2} - 4x - 1 = 0$,$x_{1} = $1,$x_{2} = $-1/5；
②$2x^{2} - 3x + 1 = 0$,$x_{1} = $1,$x_{2} = $1/2；
③$x^{2} - (\sqrt{2} - 1)x - 2 + \sqrt{2} = 0$,$x_{1} = $1,$x_{2} = $-2+√2；
④$(a - b)x^{2} + (b - c)x + c - a = 0(a \neq 0)$,$x_{1} = $1,$x_{2} = $(c-a)/(a-b)；
(2)请你写出 3 个一元二次方程,使它们都有一个根是$x = 1$。
答案不唯一,如:4x²-5x+1=0,3x²-2x-1=0,x²-3x+2=0.

答案：
(1)①1 -1/5 ②1 1/2 ③1 -2+√2 ④1 (c-a)/(a-b)
(2)答案不唯一,如:4x²-5x+1=0,3x²-2x-1=0,x²-3x+2=0.