《2025年同步测控优化设计九年级数学上册人教版精编版》

6. 若抛物线 $ y = ax^{2} + bx + c $ 的顶点是 $ A(2, 1) $,且经过点 $ B(1, 0) $,则抛物线的函数解析式为y = - x² + 4x - 3.

答案： y = - x² + 4x - 3

7. 已知实数 $ x $,$ y $ 满足 $ x^{2} + 3x + y - 3 = 0 $,则 $ x + y $ 的最大值为4.

答案： 4

8. 已知二次函数 $ y = ax^{2} - 5x + c $ 的图象如图所示.

(1) 试求该二次函数的解析式和它的图象的顶点坐标；
(2) 观察图象回答,何时 $ y $ 的值随 $ x $ 值的增大而增大,何时 $ y $ 的值随 $ x $ 值的增大而减小？
(3) 如果将图中抛物线先向左平移 $ 3 $ 个单位长度,再向下平移 $ 4 $ 个单位长度,试确定所得到的抛物线的解析式.

答案： 解
(1)由图象知，抛物线过点(1，0)，(4，0)，将坐标代入函数解析式，得$\begin{cases}a - 5 + c = 0 \\ 16a - 20 + c = 0 \end{cases}$，解得$\begin{cases}a = 1 \\ c = 4 \end{cases}$。故所求二次函数的解析式为y = x² - 5x + 4。又因为y = x² - 5x + 4 = (x - $\frac{5}{2}$)² - $\frac{9}{4}$，所以函数图象的顶点坐标为($\frac{5}{2}$， - $\frac{9}{4}$)。
(2)由
(1)知，a = 1 ＞ 0，抛物线的对称轴为直线x = $\frac{5}{2}$，从图象知，当x ＞ $\frac{5}{2}$时，y随x值的增大而增大；当x ＜ $\frac{5}{2}$时，y随x值的增大而减小。
(3)由
(1)知，y = x² - 5x + 4 = (x - $\frac{5}{2}$)² - $\frac{9}{4}$，将抛物线先向左平移3个单位长度，再向下平移4个单位长度，则所得抛物线的解析式为y = (x - $\frac{5}{2}$ + 3)² - $\frac{9}{4}$ - 4，即y = x² + x - 6。

★9. 如图,四边形 $ ABCD $ 是菱形,点 $ D $ 的坐标是 $ (0, \sqrt{3}) $,以点 $ C $ 为顶点的抛物线 $ y = ax^{2} + bx + c $ 恰好经过 $ x $ 轴上 $ A $,$ B $ 两点,$ CE \perp AB $ 于点 $ E $.

(1) 求 $ A $,$ B $,$ C $ 三点的坐标；
(2) 求经过 $ A $,$ B $,$ C $ 三点的抛物线的解析式；
(3) 若将上述抛物线沿其对称轴向上平移后恰好过点 $ D $,求平移后抛物线的解析式,并指出平移了多少个单位长度.

答案： 解
(1)由抛物线的对称性可知AE = BE。在Rt△AOD和Rt△BEC中，
∵OD = EC，AD = BC，
∴Rt△AOD≌Rt△BEC(HL)。
∴OA = EB = EA。设菱形的边长为2m，在Rt△AOD中，m² + ($\sqrt{3}$)² = (2m)²，解得m = 1。
∴DC = 2，OA = 1，OB = 3。故A，B，C三点的坐标分别为(1，0)，(3，0)，(2，$\sqrt{3}$)。
(2)设抛物线的解析式为y = a(x - 2)² + $\sqrt{3}$，代入点A的坐标(1，0)，得a = - $\sqrt{3}$，所以抛物线的解析式为y = - $\sqrt{3}$(x - 2)² + $\sqrt{3}$。
(3)设平移后抛物线的解析式为y = - $\sqrt{3}$(x - 2)² + k，代入点D的坐标(0，$\sqrt{3}$)，得k = 5$\sqrt{3}$，所以平移后的抛物线的解析式为y = - $\sqrt{3}$(x - 2)² + 5$\sqrt{3}$。所以平移了5$\sqrt{3}$ - $\sqrt{3}$ = 4$\sqrt{3}$个单位长度。

10. 已知二次函数 $ y = x^{2} - 2mx $($ m $ 为常数),当 $ - 1 \leq x \leq 2 $ 时,函数值 $ y $ 的最小值为 $ - 2 $,则 $ m $ 的值是(D)
A.$ \frac{3}{2} $
B.$ \sqrt{2} $
C.$ \frac{3}{2} $ 或 $ \sqrt{2} $
D.$ - \frac{3}{2} $ 或 $ \sqrt{2} $

答案： D

★11. 在平面直角坐标系中,抛物线 $ y = mx^{2} - 2mx + m - 1(m ＞ 0) $ 与 $ x $ 轴的交点为 $ A $,$ B $.
(1) 求抛物线的顶点坐标.
(2) 把横、纵坐标都是整数的点叫做整点.
①当 $ m = 1 $ 时,求线段 $ AB $ 上整点的个数；
②若抛物线在点 $ A $,$ B $ 之间的部分与线段 $ AB $ 所围成的区域内(包括边界)恰有 $ 6 $ 个整点,结合函数的图象,求 $ m $ 的取值范围.

答案：
解
(1)
∵y = mx² - 2mx + m - 1 = m(x - 1)² - 1，
∴抛物线的顶点坐标为(1， - 1)。
(2)①
∵m = 1，
∴抛物线对应的解析式为y = x² - 2x。令y = 0，得x = 0或x = 2，不妨设A(0，0)，B(2，0)，则线段AB上整点的个数为3。
②如图，抛物线在点A，B之间的部分与线段AB所围成的区域内(包括边界)恰有6个整点，则点A在( - 1，0)与( - 2，0)之间(包括点( - 1，0)，不包括点( - 2，0))，当抛物线经过点( - 1，0)时，m = $\frac{1}{4}$；当抛物线经过点( - 2，0)时，m = $\frac{1}{9}$；故m的取值范围为$\frac{1}{9}$ ＜ m ≤ $\frac{1}{4}$。