《2025年同步测控优化设计九年级数学上册人教版精编版》

5. 如图,$P$ 为 $\odot O$ 外一点,$PA$,$PB$ 为 $\odot O$ 的切线,$A$ 和 $B$ 是切点.

(1)若 $PA = 3$,则 $PB = $3.
(2)若 $PA = 2x - 1$,$PB = x + 5$,则 $x = $6.
(3)若 $\odot O$ 的半径为 $3$,$\angle APB = 60^{\circ}$,则 $PA = $$3\sqrt{3}$.

答案：
(1)3　
(2)6　
(3)$3\sqrt{3}$

6. 如图,$\triangle ABC$ 是直角三角形,$\angle ABC = 90^{\circ}$,以 $AB$ 为直径的 $\odot O$ 与 $AC$ 相交于点 $E$,点 $D$ 是 $BC$ 的中点,连接 $DE$.

(1)求证：$DE$ 与 $\odot O$ 相切；
(2)若 $\odot O$ 的半径为 $\sqrt{3}$,$DE = 3$,求 $AE$ 的长.

答案：
(1)证明 连接OE,BE(图略),
∵AB是直径,
∴BE⊥AC.
∵D是BC的中点,
∴DE=DB.
∴∠DBE=∠DEB.又OE=OB,
∴∠OBE=∠OEB.
∴∠DBE+∠OBE=∠DEB+∠OEB,即∠ABD=∠OED.
∵∠ABC=90°,
∴∠OED=90°.
∴DE与⊙O相切.
(2)解
∵AC=$\sqrt{AB^2+BC^2}=\sqrt{(2\sqrt{3})^2+6^2}=4\sqrt{3}$,
∴BE=$\frac{AB\cdot BC}{AC}=\frac{2\sqrt{3}×6}{4\sqrt{3}}=3$.
∴AE=$\sqrt{AB^2-BE^2}=\sqrt{12-9}=\sqrt{3}$.

1. 如图,$AB$ 为 $\odot O$ 的切线,点 $A$ 为切点,$OB$ 交 $\odot O$ 于点 $C$,点 $D$ 在 $\odot O$ 上,连接 $AD$,$CD$,$OA$,若 $\angle ADC = 35^{\circ}$,则 $\angle ABO$ 的度数为(B)

A.$25^{\circ}$
B.$20^{\circ}$
C.$30^{\circ}$
D.$35^{\circ}$

答案： B

2. 某影视城的一扇圆弧形门如图所示,小红到影视城游玩,她了解到这扇门的相关数据：这扇圆弧形门所在的圆与水平地面是相切的,$AB = CD = 0.25\ m$,$BD = 1.5\ m$,且 $AB$,$CD$ 与水平地面都是垂直的. 根据以上数据,请你帮小红计算出这扇圆弧形门的最高点离地面的距离是(B)

A.$2\ m$
B.$2.5\ m$
C.$2.4\ m$
D.$2.1\ m$

答案： B

3. 如图,在 $Rt\triangle ABC$ 中,$\angle C = 90^{\circ}$,$AB = 5$,点 $O$ 在 $AB$ 上,$OB = 2$,以 $OB$ 为半径的 $\odot O$ 与 $AC$ 相切于点 $D$,交 $BC$ 于点 $E$,则 $CE$ 的长为(B)

A.$\frac{1}{2}$
B.$\frac{2}{3}$
C.$\frac{\sqrt{2}}{2}$
D.$1$

答案： B