《2025年同步测控优化设计九年级数学上册人教版精编版》

1. 二次函数 $ y = -\frac{1}{4}(x - 2)^2 $ 的图象与 $ y $ 轴(B)
A.没有交点
B.有交点
C.交点为 $ (1, 0) $
D.交点为 $ \left(0, \frac{1}{4}\right) $

答案： B

2. 如图,把抛物线 $ y = x^2 $ 沿直线 $ y = x $ 平移 $ \sqrt{2} $ 个单位长度后,其顶点在直线上的点 $ A $ 处,则平移后抛物线的解析式是(C)

A.$ y = (x + 1)^2 - 1 $
B.$ y = (x + 1)^2 + 1 $
C.$ y = (x - 1)^2 + 1 $
D.$ y = (x - 1)^2 - 1 $

答案： C

3. 已知二次函数 $ y = a(x + 1)^2 - b $ 有最小值 $ 1 $,则 $ a $,$ b $ 的大小关系为(A)
A.$ a ＞ b $
B.$ a ＜ b $
C.$ a = b $
D.不能确定

答案： A

4. 在同一平面直角坐标系中,一次函数 $ y = ax + c $ 和二次函数 $ y = a(x + c)^2 $ 的图象大致为(B)

答案： B

5. 已知二次函数 $ y = (x - m)^2 - 1 $,若当 $ x \leq 1 $ 时,$ y $ 随 $ x $ 的增大而减小,则实数 $ m $ 的取值范围是(C)
A.$ m = 1 $
B.$ m ＞ 1 $
C.$ m \geq 1 $
D.$ m \leq 1 $

答案： C

6. 若二次函数 $ y = a(x - h)^2 + k $ ($ a ＞ 0 $)的图象过点 $ A(0, 2) $,$ B(8, 3) $,则 $ h $ 的值可以是(D)
A.$ 6 $
B.$ 5 $
C.$ 4 $
D.$ 3 $

答案： D

7. 关于二次函数 $ y = (x - 1)^2 + 5 $,下列说法正确的是(D)
A.函数图象的开口向下
B.函数图象的顶点坐标是 $ (-1, 5) $
C.该函数有最大值,最大值是 $ 5 $
D.当 $ x ＞ 1 $ 时,$ y $ 随 $ x $ 的增大而增大

答案： D

8. 如图,把抛物线 $ y = \frac{1}{2}x^2 $ 平移得到抛物线 $ m $,抛物线 $ m $ 经过点 $ A(-6, 0) $ 和原点 $ O(0, 0) $,它的顶点为 $ P $,它的对称轴与抛物线 $ y = \frac{1}{2}x^2 $ 交于点 $ Q $,则图中阴影部分的面积为$\frac{27}{2}$.

答案： $\frac{27}{2}$

9. 已知点 $ A(x_1, y_1) $,$ B(x_2, y_2) $ 在二次函数 $ y = (x - 1)^2 + 1 $ 的图象上,若 $ x_1 ＞ x_2 ＞ 1 $,则 $ y_1 $＞$ y_2 $.

答案： $＞$

10. 下列关于二次函数 $ y = -(x - m)^2 + m^2 + 1 $($ m $ 为常数)的结论：①该函数的图象与函数 $ y = -x^2 $ 的图象形状相同；②该函数的图象一定经过点 $ (0, 1) $；③当 $ x ＞ 0 $ 时,$ y $ 随 $ x $ 的增大而减小；④该函数图象的顶点在函数 $ y = x^2 + 1 $ 的图象上. 其中所有正确结论的序号是①②④.

答案： ①②④

11. 已知 $ y = a(x - t - 1)^2 + t^2 $($ a $,$ t $ 是常数,$ a \neq 0 $,$ t \neq 0 $)的图象的顶点是 $ A $,$ y = (x - 1)^2 $ 的图象的顶点是 $ B $.
(1) 判断点 $ A $ 是否在 $ y = (x - 1)^2 $ 的图象上,并说明理由.
(2) 若 $ y = a(x - t - 1)^2 + t^2 $($ a \neq 0 $,$ t \neq 0 $)的图象经过点 $ B $,求 $ a $ 的值.

答案： 解
(1)点A在$y=(x-1)^2$的图象上.理由: 因为$y=a(x-t-1)^2+t^2$的图象的顶点是$A(t+1,t^2)$,且当$x=t+1$时,$y=(x-1)^2=(t+1-1)^2=t^2$,所以点A在$y=(x-1)^2$的图象上.
(2)$y=(x-1)^2$的图象的顶点为点$B(1,0)$. 因为$y=a(x-t-1)^2+t^2$的图象经过点$B(1,0)$, 所以$a(1-t-1)^2+t^2=0$. 所以$(a+1)t^2=0$. 又因为$t≠0$,所以$a+1=0$,即$a=-1$.