《2025年同步测控优化设计九年级数学上册人教版精编版》

1. 如图,$\odot O$中,$OC \perp AB$,$\angle APC = 28^{\circ}$,则$\angle BOC$的度数为(D)


A.$14^{\circ}$
B.$28^{\circ}$
C.$42^{\circ}$
D.$56^{\circ}$

答案： D

2. 如图,$A是\odot O$上一点,$BC$是直径,$AC = 2$,$AB = 4$,点$D在\odot O上且平分\overset{\frown}{BC}$,则$DC$的长为(D)

A.$2\sqrt{2}$
B.$\sqrt{5}$
C.$2\sqrt{5}$
D.$\sqrt{10}$

答案： D

3. 如图,$AB是\odot O$的直径,点$C$,$D$,$E在\odot O$上,若$\angle AED = 20^{\circ}$,则$\angle BCD$的度数为(B)

A.$100^{\circ}$
B.$110^{\circ}$
C.$115^{\circ}$
D.$120^{\circ}$

答案： B

4. 如图,$BD是\odot O$的直径,点$A$,$C在\odot O$上,$\overset{\frown}{AB} = \overset{\frown}{AD}$,$AC交BD于点G$。若$\angle COD = 126^{\circ}$,则$\angle AGB$的度数为(B)

A.$99^{\circ}$
B.$108^{\circ}$
C.$110^{\circ}$
D.$117^{\circ}$

答案： B

5. 如图,已知$BC是\odot O$的直径,半径$OA \perp BC$,点$D在劣弧AC$上(不与点$A$,点$C$重合),$BD与OA交于点E$。设$\angle AED = \alpha$,$\angle AOD = \beta$,则(D)

A.$3\alpha + \beta = 180^{\circ}$
B.$2\alpha + \beta = 180^{\circ}$
C.$3\alpha - \beta = 90^{\circ}$
D.$2\alpha - \beta = 90^{\circ}$

答案： D

6. 如图,$\odot O的半径为5$,$AB$为弦,点$C为\overset{\frown}{AB}$的中点,若$\angle ABC = 30^{\circ}$,则弦$AB$的长为5$\sqrt{3}$。

答案： 5$\sqrt{3}$

7. 如图,已知$AB = AC = AD$,$\angle CBD = 2\angle BDC$,$\angle BAC = 44^{\circ}$,则$\angle CAD$的度数为88°。

答案： 88°

8. 如图,已知$\overset{\frown}{AB} = \overset{\frown}{BC} = \overset{\frown}{AC}$,点$P为劣弧\overset{\frown}{BC}$上的一点。

(1)求$\angle BPC$的度数；
(2)求证：$PA = PB + PC$。

答案：
(1)解：
∵$\overset{\frown}{AB}$ = $\overset{\frown}{BC}$ = $\overset{\frown}{AC}$,
∴AB = BC = AC;
∴∠BAC = 60°.又∠BPC + ∠BAC = 180°,
∴∠BPC = 120°.
(2)证明：如图，在PA上截取PD = PC,连接DC,
∵AB = AC = BC,
∴∠APB = ∠APC = 60°.
∴△PCD为等边三角形,
∴∠ADC = 120°,又∠CAD = ∠PBC,且AC = BC,
∴△ACD ≌ △BCP.
∴AD = PB,
∴PA = AD + PD = PB + PC.

9. 如图,$\triangle ABC的三个顶点都在\odot O$上,并且点$C是优弧\overset{\frown}{AmB}$上一点(点$C不与点A$,$B$重合)。设$\angle OAB = \alpha$,$\angle C = \beta$。

(1)当$\alpha = 35^{\circ}$时,求$\beta$的度数；
(2)猜想$\alpha与\beta$之间的关系,并证明。

答案：
(1)解：如图，连接OB,则OA = OB,
∴∠OBA = ∠OAB = 35°,
∴∠AOB = 180° - ∠OAB - ∠OBA = 110°.
∴β = ∠C = $\frac{1}{2}$∠AOB = 55°.
(2)α与β之间的关系是α + β = 90°.证法一:如图，连接OB,则OA = OB,
∴∠OBA = ∠OAB = α,
∴∠AOB = 180° - 2α.
∴β = ∠C = $\frac{1}{2}$∠AOB = $\frac{1}{2}$(180° - 2α) = 90° - α.
∴α + β = 90°.证法二:如图，连接OB,则OA = OB,
∴∠AOB = 2∠C = 2β.过点O作OD⊥AB于点D,则OD平分∠AOB，
∴∠AOD = $\frac{1}{2}$∠AOB = β.在Rt△AOD中,∠OAD + ∠AOD = 90°,
∴α + β = 90°.证法三:如图，延长AO交⊙O于点E,连接BE,则∠E = ∠C = β
∵AE是⊙O的直径，
∴∠AOE = 180°,
∴∠ABE = 90°,
∴∠BAE + ∠E = 90°,即α + β = 90°.