《2025年同步测控优化设计九年级数学上册人教版精编版》

★10. 已知实数$a是方程x^{2}-x - 1= 0$的一个根,求$-a^{3}+2a^{2}+5021$的值。

答案： 分析由方程根的定义可知$a^{2}-a - 1=0$,利用条件的变形对所求代数式中的字母逐渐降次，不难求得最后的结果.
　　　解由方程根的定义知$a^{2}-a - 1=0$,
　　　　　　从而$a^{2}=a + 1$，$a^{2}-a=1$,
　　　　　　故$-a^{3}+2a^{2}+5021=-a(a + 1)+2a^{2}+5021=a^{2}-a+5021=1+5021=5022$.

★11. 有这样一道题目：把方程$\frac{1}{2}x^{2}-x= 2$化为一元二次方程的一般形式,并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项。现在把上面的题目改编成下面的两个小题,请回答问题：
(1) 下列式子中有哪些是方程$\frac{1}{2}x^{2}-x= 2$化为一元二次方程的一般形式?①②④⑤。(填序号)
①$\frac{1}{2}x^{2}-x-2= 0$,②$-\frac{1}{2}x^{2}+x + 2= 0$,③$x^{2}-2x= 4$,④$-x^{2}+2x + 4= 0$,⑤$\sqrt{3}x^{2}-2\sqrt{3}x-4\sqrt{3}= 0$。
(2) 方程$\frac{1}{2}x^{2}-x= 2$化为一元二次方程的一般形式后,它的二次项系数、一次项系数和常数项之间具有什么关系？
若设它的二次项系数为$a(a\neq 0)$,则一次项系数为-2a、常数项为-4a(或这个方程的二次项系数：一次项系数：常数项=1：(-2)：(-4)).

答案： 解
(1)①②④⑤;
(2)若设它的二次项系数为$a(a\neq 0)$,则一次项系数为-2a、常数项为-4a(或这个方程的二次项系数：一次项系数：常数项=1：(-2)：(-4)).