《2025年同步测控优化设计九年级数学上册人教版精编版》

4. 通过实验研究,专家们发现：初中学生听课的注意力指标数是随着老师讲课时间的变化而变化的,讲课开始时,学生的兴趣激增,中间有一段时间的兴趣保持平稳状态,随后开始分散. 学生注意力指标数 $ y $ 随时间 $ x $(单位：$ min $)变化的函数图象如图所示($ y $ 越大表示注意力越集中). 当 $ 0 \leq x \leq 10 $ 时,图象是抛物线的一部分,当 $ 10 \leq x \leq 20 $ 和 $ 20 \leq x \leq 40 $ 时,图象是线段.

(1) 当 $ 0 \leq x \leq 10 $ 时,求注意力指标数 $ y $ 与时间 $ x $ 的函数解析式.
(2) 一道数学综合题需要讲解 $ 24 \ min $. 问老师能否经过适当安排,使学生听这道题时,注意力的指标数都不低于 $ 36 $？

答案： 4.解
(1)根据题意，设当0≤x≤10时的抛物线为y=ax²+bx+20,把(5,39),(10,48)代入解析式,得{25a+5b+20=39,100a+10b+20=48,解得{a=-1/5,b=24/5.所以y=-1/5x²+24/5x+20(0≤x≤10).
(2)由图象知,当20≤x≤40时,y=-7/5x+76.当0≤x≤10时,令y=36,得36=-1/5x²+24/5x+20，解得x₁=4,x₂=20(舍去).当20≤x≤40时，令y=36,得36=-7/5x+76，解得x=200/7=28 4/7.因为28 4/7 - 4 = 24 4/7＞24，所以老师可以通过适当的安排，在学生的注意力指标数不低于36时，讲授完这道数学综合题.

5. 某公司在固定线路上运输,拟用运营指数 $ Q $ 量化考核司机的工作业绩. $ Q = W + 100 $,而 $ W $ 的大小与运输次数 $ n $ 及平均速度 $ x $(单位：$ km/h $)有关(不考虑其他因素),$ W $ 由两部分的和组成：一部分与 $ x $ 的平方成正比,另一部分与 $ x $ 的 $ n $ 倍成正比. 试行中得到了表中的数据.

(1) 用含 $ x $ 和 $ n $ 的式子表示 $ Q $.
(2) 当 $ x = 70 $,$ Q = 450 $ 时,求 $ n $ 的值.
(3) 若 $ n = 3 $,要使 $ Q $ 最大,确定 $ x $ 的值.
(4) 设 $ n = 2 $,$ x = 40 $,能否在 $ n $ 增加 $ m\% $($ m ＞ 0 $)同时 $ x $ 减少 $ m\% $ 的情况下,而 $ Q $ 的值仍为 $ 420 $？若能,求出 $ m $ 的值；若不能,请说明理由.

答案： 5.解
(1)设W=k₁x²+k₂nx，则Q=k₁x²+k₂nx+100.由表中数据,得{420=40²k₁+2×40k₂+100,100=60²k₁+1×60k₂+100,解得{k₁=-1/10,k₂=6.因此Q=-1/10x²+6nx+100.
(2)由题意，得450=-1/10×70²+6×70n+100,解得n=2.
(3)当n=3时，Q=-1/10x²+18x+100.由a=-1/10＜0可知，要使Q最大，则x=-18/(2×(-1/10)) = 90.
(4)由题意，得420=-1/10[40(1 - m%)]²+6×2(1 + m%)×40(1 - m%)+100，即2(m%)² - m% = 0，解得m%=1/2或m%=0(舍去).故m=50.