《2025年同步测控优化设计九年级数学上册人教版精编版》

8. 当 $k$ 取何值时,关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2}-4x+k-5 = 0$,
(1)有两个不相等的实数根；
(2)有两个相等的实数根；
(3)没有实数根？

答案： 分析 由一元二次方程根的判别式可知,
(1)$\Delta ＞0;$
(2)$\Delta =0$;
(3)$\Delta ＜0.$
解$\Delta =(-4)^{2}-4(k-5)=16-4k+20=36-4k.$
(1)因为方程有两个不相等的实数根,
所以$\Delta ＞0$,即$36-4k＞0.$
解得$k＜9.$
(2)因为方程有两个相等的实数根,所以$\Delta =$
0,即$36-4k=0$.解得$k=9.$
(3)因为方程没有实数根,
所以$\Delta ＜0$,即$36-4k＜0.$
解得$k＞9.$

1. 若关于 $x$ 的方程 $kx^{2}-6x+9 = 0$ 有实数根,则实数 $k$ 的取值范围是(D)
A.$k＜1$,且 $k\neq0$
B.$k＜1$
C.$k\leqslant1$,且 $k\neq0$
D.$k\leqslant1$

答案： D

2. 已知直线 $y = x+a$ 不经过第二象限,则关于 $x$ 的方程 $ax^{2}+2x+1 = 0$ 实数解的个数是(D)
A.$0$
B.$1$
C.$2$
D.$1$ 或 $2$

答案： D

3. 对于实数 $a$,$b$ 定义运算“$\otimes$”为 $a\otimes b = b^{2}-ab$,例如 $3\otimes2 = 2^{2}-3×2 = -2$,则关于 $x$ 的方程 $(k - 3)\otimes x = k - 1$ 的根的情况,下列说法正确的是(A)
A.有两个不相等的实数根
B.有两个相等的实数根
C.无实数根
D.无法确定

答案： A

4. 若关于 $x$ 的方程 $x^{2}+2\sqrt{k}x-1 = 0$ 有两个不相等的实数根,则实数 $k$ 的取值范围是(D)
A.$k＞-1$
B.$k\geqslant-1$
C.$k＞1$
D.$k\geqslant0$

答案： D

5. 已知关于 $x$ 的一元二次方程 $2x^{2}-4x+m-\frac{3}{2} = 0$ 有实数根,则实数 $m$ 的取值范围是$m\leqslant \frac {7}{2}$.

答案： $m\leqslant \frac {7}{2}$

6. 已知关于 $x$ 的一元二次方程 $(m - 1)x^{2}+2x-1 = 0$ 有两个不相等的实数根,则实数 $m$ 的取值范围是$m＞0$,且$m≠1$.

答案： $m＞0$,且$m≠1$

7. 求证：不论 $m$ 为何值,关于 $x$ 的方程 $2x^{2}-(4m - 1)x-m^{2}-m = 0$ 总有两个不相等的实数根.

答案： 证明$\Delta =b^{2}-4ac=[-(4m-1)]^{2}-4×2×(-m^{2}-m)=24m^{2}+1＞0,$
因此不论m为何值,方程总有两个不相等的实数根.