《2025年同步测控优化设计九年级数学上册人教版精编版》

16. 已知关于 $ x $ 的一元二次方程 $ x^{2} - (2k + 1)x + k^{2} + k = 0 $。
(1)求证：方程有两个不相等的实数根；
(2)若 $ \triangle ABC $ 的两边 $ AB $,$ AC $ 的长是这个方程的两个实数根,第三边 $ BC $ 的长为 $ 5 $。当 $ \triangle ABC $ 是等腰三角形时,求实数 $ k $ 的值。

答案： 16.
(1)证明 因为一元二次方程为$x^{2}-(2k+1)x+k^{2}+k=0$,$\Delta =[-(2k+1)]^{2}-4(k^{2}+k)=1＞0$,所以此方程有两个不相等的实数根.
(2)解 因为△ABC的两边AB,AC的长是这个方程的两个实数根,由
(1)知,AB≠AC,△ABC第三边BC的长为5,且△ABC是等腰三角形,所以必然有AB=5或AC=5,即x=5是原方程的一个解.将x=5代入方程$x^{2}-(2k+1)x+k^{2}+k=0$,$25-5(2k+1)+k^{2}+k=0$,解得k=4或k=5.当k=4时,原方程为$x^{2}-9x+20=0$,$x_{1}=5$,$x_{2}=4$,以5,5,4为边长能构成等腰三角形;当k=5时,原方程为$x^{2}-11x+30=0$,$x_{1}=5$,$x_{2}=6$,以5,5,6为边长能构成等腰三角形.(必须检验方程的另一个解大于0且小于10)故k的值为4或5.

如图，某小河上有一拱桥，拱桥及河道的截面轮廓线由抛物线的一部分 \( ACB \) 和矩形的三边 \( AE \)，\( ED \)，\( DB \) 组成，已知河底 \( ED \) 是水平的，\( ED = 16m \)，\( AE = 8m \)，抛物线的顶点 \( C \) 到 \( ED \) 的距离是 \( 11m \)。以 \( ED \) 所在的直线为 \( x \) 轴，抛物线的对称轴为 \( y \) 轴建立平面直角坐标系。
(1)求抛物线的解析式；
(2)已知从某时刻开始的 $ 40 $ 小时内,水面与河底 $ ED $ 的距离 $ h $(单位：$ m $)随时间 $ t $(单位：$ h $)的变化满足函数关系 $ h = - \frac{1}{128}(t - 19)^{2} + 8(0 \leq t \leq 40) $,且当水面到顶点 $ C $ 的距离不大于 $ 5m $ 时,需禁止船只通行,请通过计算说明：在这一时段内,需多少小时禁止船只通行？

答案： 17.解
(1)依题意可得,顶点C的坐标为(0,11),点B的坐标为(8,8),设抛物线的解析式为$y=ax^{2}+11(a≠0)$,则有$8=64a+11$,解得$a=-\frac {3}{64}$,所以抛物线的解析式为$y=-\frac {3}{64}x^{2}+11$.
(2)令$-\frac {1}{128}(t-19)^{2}+8=11-5$,解得$t_{1}=35$,$t_{2}=3$.因为$a=-\frac {1}{128}＜0$,所以当3≤t≤35时,水面到顶点C的距离不大于5m,需禁止船只通行,禁止船只通行的时间为35-3=32(h).答:禁止船只通行的时间为32 h.