《2025年同步测控优化设计九年级数学上册人教版精编版》

3. 若实数 $a$,$b$ 满足 $(a + b)^{2}+a + b - 2 = 0$,则 $(a + b)^{2}$ 的值为(D)
A.$4$
B.$1$
C.$2$ 或 $1$
D.$4$ 或 $1$

答案： D

4. 当 $x= $5或-3时,多项式 $x^{2}-2x - 3$ 的值等于 $12$。

答案： 5或-3

5. 已知 $\sqrt{a - 2}+(c + 3)^{2}= 0$,则关于 $x$ 的方程 $ax^{2}-x + c = 0$ 的两根分别为$x_{1}=\frac{3}{2},x_{2}=-1$。

答案： $x_{1}=\frac{3}{2},x_{2}=-1$

6. 有一张长方形的桌子,长为 $3m$,宽为 $2m$,长方形桌布的面积是桌面面积的 $2$ 倍,且将桌布铺到桌面上时各边垂下的长度相同,则桌布长为4 m,宽为3 m。

答案： 4 m 3 m

7. 若关于 $x$ 的一元二次方程 $ax^{2}+bx + c = 0$ 中二次项系数与常数项之和等于一次项系数,则方程必有一根为-1。

答案： -1

8. 用公式法解下列方程：
(1)$x^{2}+x - 1 = 0$；
(2)$2x^{2}= 1 - 3x$。

答案： （1）由方程可得a=1,b=1,c=-1,b²-4ac=1+4=5＞0,
∴x=$\frac{-1\pm\sqrt{5}}{2×1}=\frac{-1\pm\sqrt{5}}{2}$,即x₁=$\frac{-1+\sqrt{5}}{2}$,x₂=$\frac{-1-\sqrt{5}}{2}$.（2）移项，得2x²+3x-1=0.
∵a=2,b=3,c=-1,b²-4ac=3²-4×2×(-1)=9+8=17＞0,
∴x=$\frac{-3\pm\sqrt{17}}{2×2}=\frac{-3\pm\sqrt{17}}{4}$,即x₁=$\frac{-3+\sqrt{17}}{4}$,x₂=$\frac{-3-\sqrt{17}}{4}$.

★9. 已知关于 $x$ 的方程 $2x^{2}+kx - 10 = 0$ 的一个根为 $\frac{5}{2}$,求它的另一个根及实数 $k$ 的值。

答案： 解 把x=$\frac{5}{2}$代入2x²+kx-10=0,得2×$\frac{25}{4}$+$\frac{5}{2}$k-10=0,解得k=-1.故原方程为2x²-x-10=0.
∵a=2,b=-1,c=-10,
∴b²-4ac=(-1)²-4×2×(-10)=81.
∴x=$\frac{1\pm\sqrt{81}}{2×2}=\frac{1\pm9}{4}$.
∴x₁=$\frac{5}{2}$,x₂=-2.答：它的另一根为-2,k的值为-1.

★10. 数学兴趣小组对关于 $x$ 的方程 $(m + 1)x^{m^{2}+1}+(m - 2)x - 1 = 0$ 提出了下列问题：
(1)是否存在实数 $m$ 的值,使方程为一元二次方程？若存在,求出 $m$ 的值,并解此方程；
(2)是否存在实数 $m$ 的值,使方程为一元一次方程？若存在,求出 $m$ 的值,并解此方程。

答案： （1）存在.根据题意，得m²+1=2,即m²=1,m=±1,当m=1时，m+1=1+1=2≠0；当m=-1时，m+1=-1+1=0（不合题意，舍去）.当m=1时，方程为2x²-x-1=0,解得x₁=1,x₂=-$\frac{1}{2}$.因此，该方程是一元二次方程时，m=1,其两根分别为x₁=1,x₂=-$\frac{1}{2}$.（2）存在.根据题意，得①m²+1=1,m²=0,m=0,当m=0时，(m+1)+(m-2)=2m-1=-1≠0,故m=0满足题意.②当m²+1=0时，m不存在.③当m+1=0，即m=-1时，m-2=-3≠0,故m=-1也满足题意.当m=0时，一元一次方程是x-2x-1=0,解得x=-1.当m=-1时，一元一次方程是-3x-1=0,解得x=-$\frac{1}{3}$.因此，该方程是一元一次方程时，m=0或m=-1,并且当m=0时，其根为x=-1；当m=-1时，其根为x=-$\frac{1}{3}$.