《2025年同步测控优化设计九年级数学上册人教版精编版》

1. 一元二次方程 $ax^{2}+bx+c = 0(a\neq0)$ 的两根 $x_{1},x_{2}$ 与系数 $a,b,c$ 之间的关系是 $x_{1}+x_{2}=$$-\frac{b}{a}$,$x_{1}x_{2}=$$\frac{c}{a}$。

答案： $-\frac{b}{a}$ $\frac{c}{a}$

2. 设方程 $x^{2}-3x + 2 = 0$ 的两根分别是 $x_{1},x_{2}$,则 $x_{1}+x_{2}$ 的值为(A)
A.3
B.$-\frac{3}{2}$
C.$\frac{3}{2}$
D.$-2$

答案： A

3. 已知方程 $x^{2}+2x - 3 = 0$ 的两根为 $x_{1},x_{2}$,则 $x_{1}x_{2}$ 的值为-3。

答案： -3

4. 若关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2}-kx - 2 = 0$ 的一个根为 $x = 1$,则这个一元二次方程的另一个根为$x=-2$。

答案： $x=-2$

1. 下列方程中,两个实数根之和为 2 的一元二次方程是(C)
A.$x^{2}+2x - 3 = 0$
B.$x^{2}-2x + 3 = 0$
C.$x^{2}-2x - 3 = 0$
D.$x^{2}+2x + 3 = 0$

答案： C

2. 已知 $x_{1},x_{2}$ 是关于 $x$ 的方程 $x^{2}+bx - 3 = 0$ 的两根,且满足 $x_{1}+x_{2}-3x_{1}x_{2}= 5$,则实数 $b$ 的值为(A)
A.4
B.$-4$
C.3
D.$-3$

答案： A

3. 已知 $x_{1},x_{2}$ 是一元二次方程 $x^{2}-2x - 1 = 0$ 的两根,则 $\frac{1}{x_{1}x_{2}}= $-1。

答案： -1

4. 设 $x_{1},x_{2}$ 是方程 $2x^{2}+3x - 4 = 0$ 的两个实数根,则 $\frac{1}{x_{1}}+\frac{1}{x_{2}}$ 的值为$\frac{3}{4}$。

答案： $\frac{3}{4}$

5. 已知方程 $x^{2}+3x - 1 = 0$ 的两个实数根分别为 $\alpha,\beta$,不解方程求下列各式的值。
(1)$\alpha^{2}+\beta^{2}$；(2)$\alpha^{3}\beta+\alpha\beta^{3}$；(3)$\frac{\beta}{\alpha}+\frac{\alpha}{\beta}$。

答案： 5.分析 由根与系数的关系,得$\alpha+\beta=-3$,$\alpha\beta=-1$,把要求的代数式的值分别用$\alpha+\beta$,$\alpha\beta$来表示,代入求解.
解 因为$\alpha$,$\beta$是方程$x^{2}+3x-1=0$的两个实数根,所以$\alpha+\beta=-3$,$\alpha\beta=-1$.
(1)$\alpha^{2}+\beta^{2}=(\alpha+\beta)^{2}-2\alpha\beta=(-3)^{2}-2×(-1)=11$.
(2)$\alpha^{3}\beta+\alpha\beta^{3}=\alpha\beta(\alpha^{2}+\beta^{2})=(-1)×11=-11$.
(3)$\frac{\beta}{\alpha}+\frac{\alpha}{\beta}=\frac{\alpha^{2}+\beta^{2}}{\alpha\beta}=\frac{11}{-1}=-11$.

6. 已知关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2}+mx - 1 = 0$ 的一个根是 $\sqrt{2}-1$,求其另一个根及实数 $m$ 的值。

答案： 6.解 设方程的一个根为$x_{1}=\sqrt{2}-1$,另一个根为$x_{2}$,由根与系数的关系,得$\begin{cases} \sqrt{2}-1+x_{2}=-m, \\ (\sqrt{2}-1)x_{2}=-1, \end{cases}$
解得$\begin{cases} x_{2}=-\sqrt{2}-1, \\ m=2. \end{cases}$
故另一个根为$-\sqrt{2}-1$,$m$的值为2.

1. 若关于 $x$ 的方程 $2x^{2}+mx + n = 0$ 的两个根是 $-2$ 和 1,则 $n^{m}$ 的值为(C)
A.$-8$
B.8
C.16
D.$-16$

答案： C

2. 若 $x_{1},x_{2}$ 是关于 $x$ 的方程 $x^{2}-2mx + m^{2}-m - 1 = 0$ 的两个实数根,且 $x_{1}+x_{2}= 1 - x_{1}x_{2}$,则实数 $m$ 的值为(D)
A.$-1$ 或 2
B.1 或 $-2$
C.$-2$
D.1

答案： D

3. 若 $m,n$ 是一元二次方程 $x^{2}+3x - 9 = 0$ 的两个根,则 $m^{2}+4m + n$ 的值是(C)
A.4
B.5
C.6
D.12

答案： C