《2025年同步测控优化设计九年级数学上册人教版精编版》

4. 已知关于 $x$ 的方程 $x^{2}-(a + b)x + ab - 1 = 0$,$x_{1},x_{2}$ 是此方程的两个实数根,现给出三个结论：① $x_{1}\neq x_{2}$；② $x_{1}x_{2}\lt ab$；③ $x_{1}^{2}+x_{2}^{2}\lt a^{2}+b^{2}$。则正确结论的序号是①②。

答案： ①②

5. 在解一元二次方程 $x^{2}+bx + c = 0$ 时,小明看错了一次项系数 $b$,得到的解为 $x_{1}= 2,x_{2}= 3$；小刚看错了常数项 $c$,得到的解为 $x_{1}= 1,x_{2}= 4$。则正确的一元二次方程是$x^{2}-5x+6=0$。

答案： $x^{2}-5x+6=0$

6. 已知 $x_{1},x_{2}$ 为方程 $x^{2}+3x + 1 = 0$ 的两个实数根,则 $x_{1}^{3}+8x_{2}+20= $-1。

答案： -1

7. 已知关于 $x$ 的方程 $x^{2}+(2k - 1)x + k^{2}-1 = 0$ 有两个实数根 $x_{1},x_{2}$。
(1)求实数 $k$ 的取值范围；
(2)若 $x_{1},x_{2}$ 满足 $x_{1}^{2}+x_{2}^{2}= 16 + x_{1}x_{2}$,求实数 $k$ 的值。

答案： 7.解
(1)关于$x$的方程$x^{2}+(2k-1)x+k^{2}-1=0$有两个实数根$x_{1}$,$x_{2}$,$\Delta=(2k-1)^{2}-4(k^{2}-1)=-4k+5\geqslant0$,解得$k\leqslant\frac{5}{4}$,实数$k$的取值范围为$k\leqslant\frac{5}{4}$.
(2)关于$x$的方程$x^{2}+(2k-1)x+k^{2}-1=0$有两个实数根$x_{1}$,$x_{2}$,$x_{1}+x_{2}=1-2k$,$x_{1}x_{2}=k^{2}-1$.
$\because x_{1}^{2}+x_{2}^{2}=(x_{1}+x_{2})^{2}-2x_{1}x_{2}=16+x_{1}x_{2}$,
$\therefore(1-2k)^{2}-2(k^{2}-1)=16+(k^{2}-1)$,即$k^{2}-4k-12=0$,解得$k=-2$或$k=6$(不符合题意,舍去).故实数$k$的值为-2.

★8. 若实数 $x_{1},x_{2}$ 满足 $x_{1}^{2}-3x_{1}+1 = 0,x_{2}^{2}-3x_{2}+1 = 0$,求 $\frac{x_{2}}{x_{1}}+\frac{x_{1}}{x_{2}}$ 的值。

答案： 8.解 当$x_{1}\neq x_{2}$时,$x_{1}$,$x_{2}$是方程$x^{2}-3x+1=0$的两根,有$x_{1}+x_{2}=3$,$x_{1}x_{2}=1$.
故$\frac{x_{2}}{x_{1}}+\frac{x_{1}}{x_{2}}=\frac{x_{2}^{2}+x_{1}^{2}}{x_{1}x_{2}}=\frac{(x_{2}+x_{1})^{2}-2x_{1}x_{2}}{x_{1}x_{2}}=\frac{3^{2}-2×1}{1}=7$.
当$x_{1}=x_{2}$时,原式$=1+1=2$.综上,原式的值是7或2.

★9. 如图,菱形 $ABCD$ 的边长是 5,两条对角线交于点 $O$,且 $OA,OB$ 的长分别是关于 $x$ 的方程 $x^{2}+(2m - 1)x + m^{2}+3 = 0$ 的根,求实数 $m$ 的值。

答案： 9.分析 将直角三角形中的勾股定理、完全平方式的基本变形以及一元二次方程根与系数的关系结合起来求解.
解 因为$OA$,$OB$的长是关于$x$的方程$x^{2}+(2m-1)x+m^{2}+3=0$的两个实数根,所以$OA+OB=1-2m$,$OA\cdot OB=m^{2}+3$.
在菱形$ABCD$中,$OA^{2}+OB^{2}=AB^{2}$,
$(OA+OB)^{2}-2OA\cdot OB=AB^{2}$,
即$(1-2m)^{2}-2(m^{2}+3)=25$,
化简得$m^{2}-2m-15=0$.
解得$m_{1}=5$,$m_{2}=-3$.
而方程有两实数根,
则$b^{2}-4ac=(2m-1)^{2}-4(m^{2}+3)\geqslant0$.
从而可知$m\leqslant-\frac{11}{4}$.
因此$m=5$不合题意,舍去.
故$m=-3$.