《2025年同步测控优化设计九年级数学上册人教版精编版》

5. 某中学课外兴趣活动小组准备围建一个矩形苗圃园,其中一边靠墙,另外三边用周长为30m的篱笆围成. 如图,已知墙长为18m,设这个苗圃园垂直于墙的一边长为 $ xm $.

(1)若苗圃园的面积为 $ 72m^2 $,求 $ x $.
(2)若平行于墙的一边长不小于8m,这个苗圃园的面积有最大值和最小值吗? 如果有,求出最大值和最小值;如果没有,请说明理由.
(3)当这个苗圃园的面积不小于 $ 100m^2 $ 时,直接写出 $ x $ 的取值范围.

答案： 解
(1)苗圃园与墙平行的一边长为(30-2x)m.依题意可列方程x(30-2x)=72,即$x^{2}-15x+36=0.$解得$x_{1}=3,x_{2}=12.$当x=3时,30-2x=30-6=24＞18,不符合题意,舍去.故x=12.
(2)依题意,得8≤30-2x≤18,解得6≤x≤11.面积$S=x(30-2x)=-2(x-\frac {15}{2})^{2}+\frac {225}{2}(6≤x≤11).①$当$x=\frac {15}{2}$时,S有最大值$,S_{最大}=\frac {225}{2}(m^{2});②$当x=11时,S有最小值$,S_{最小}=11×(30-22)=88(m^{2}).(3)$令x(30-2x)=100,得$x^{2}-15x+50=0.$解得$x_{1}=5,x_{2}=10.$又30-2x≤18,x≥6,故x的取值范围是6≤x≤10.

6. 某商家正在热销一种商品,其成本为30元/件,在销售过程中发现随着售价增加,销售量在减少. 商家决定当售价为60元/件时,改变销售策略,此时售价每增加1元需支付由此产生的额外费用150元. 该商品销售量 $ y $(单位:件)与售价 $ x $(单位:元/件)满足如图所示的函数关系(其中 $ 40 \leq x \leq 70 $,且 $ x $ 为整数).

(1)直接写出 $ y $ 与 $ x $ 之间的函数解析式;
(2)当售价为多少时,商家所获利润最大,最大利润是多少?

答案： 解
(1)设线段AB的解析式为y=kx+b(k≠0,40≤x≤60),将点(40,300),(60,100)代入上式,得$\left\{\begin{array}{l} 300=40k+b,\\ 100=60k+b,\end{array}\right. $解得$\left\{\begin{array}{l} k=-10,\\ b=700,\end{array}\right. $故函数的解析式为y=-10x+700(40≤x≤60).设线段BC的解析式为y=mx+n(m≠0,60＜x≤70),将点(60,100),(70,150)代入上式,得$\left\{\begin{array}{l} 60m+n=100,\\ 70m+n=150,\end{array}\right. $解得$\left\{\begin{array}{l} m=5,\\ n=-200,\end{array}\right. $故函数的解析式为y=5x-200(60＜x≤70),y与x之间的函数解析式为$y=\left\{\begin{array}{l} -10x+700(40≤x≤60),\\ 5x-200(60＜x≤70).\end{array}\right. $
(2)设获得的利润为w元,①当40≤x≤60时,w=(x-30)(-10x+700)=$-10(x-50)^{2}+4000,$
∵-10＜0,
∴当x=50时,w有最大值,最大值为4000元;②当60＜x≤70时,w=(x-30)(5x-200)-150(x-60)=$5(x-50)^{2}+2500,$
∵5＞0,
∴当60＜x≤70时,w随x的增大而增大,
∴当x=70时,w有最大值,最大值为5(70-50)^{2}+2500=4500(元),综上,当售价为70元时,该商家获得的利润最大,最大利润为4500元.

1. 二次函数的图象是抛物线,建立适当的坐标系,就可以求出这条抛物线表示的二次函数. 通常以抛物线的顶点为原点,以抛物线的对称轴为y轴建立平面直角坐标系.

答案： 原点　y轴

2. 某广场有一喷水池,水从地面喷出. 如图,以水平地面为 $ x $ 轴,出水点为原点,建立平面直角坐标系,水在空中划出的曲线是抛物线 $ y = -x^2 + 4x $ 的一部分,则水喷出的最大高度是(A)

A.$ 4 \ m $
B.$ 3 \ m $
C.$ 2 \ m $
D.$ 1 \ m $

答案： A