《2025年同步测控优化设计九年级数学上册人教版精编版》

★8. 已知关于 $x$ 的方程 $k^{2}x^{2}+(2k - 1)x+1 = 0$ 有两个实数根,求实数 $k$ 的取值范围.

答案： 解 依题意有$\left\{\begin{array}{l} (2k-1)^{2}-4k^{2}×1\geqslant0,\\ k^{2}≠0,\end{array}\right. $
解得$k\leqslant \frac {1}{4}$,且$k≠0.$

9. 已知$□ ABCD$ 的两边 $AB$,$AD$ 的长是关于 $x$ 的方程 $x^{2}-mx+\frac{m}{2}-\frac{1}{4} = 0$ 的两个实数根.
(1)当 $m$ 为何值时,四边形 $ABCD$ 是菱形？求出此时菱形的边长；
(2)若 $AB$ 的长为 $2$,则 $□ ABCD$ 的周长是多少？

答案： 解
(1)因为四边形 ABCD 是菱形,
所以$AB=AD.$
又$\Delta =m^{2}-4(\frac {m}{2}-\frac {1}{4})=m^{2}-2m+1=$
$(m-1)^{2},$
则当$(m-1)^{2}=0$,即$m=1$时,四边形 ABCD
是菱形.
把$m=1$代入$x^{2}-mx+\frac {m}{2}-\frac {1}{4}=0$,得$x^{2}-$
$x+\frac {1}{4}=0,$
解得$x_{1}=x_{2}=\frac {1}{2},$
即菱形 ABCD 的边长是$\frac {1}{2}.$
(2)把$x=2$代入$x^{2}-mx+\frac {m}{2}-\frac {1}{4}=0$,得$2^{2}-$
$2m+\frac {m}{2}-\frac {1}{4}=0$,解得$m=\frac {5}{2}.$
把$m=\frac {5}{2}$代入$x^{2}-mx+\frac {m}{2}-\frac {1}{4}=0$,得$x^{2}-$
$\frac {5}{2}x+1=0$,解得$x_{1}=2,x_{2}=\frac {1}{2},$
$\therefore AD=\frac {1}{2}$.□ABCD 的周长是$2×(2+$
$\frac {1}{2})=5.$

★10. 已知关于 $x$ 的一元二次方程 $(a - 6)x^{2}-8x+9 = 0$ 有实数根.
(1)求 $a$ 的最大整数值；
(2)当 $a$ 取最大整数值时,求 $2x^{2}-\frac{32x-7}{x^{2}-8x+11}$ 的值.

答案： 解
(1)因为关于x的一元二次方程$(a-6)x^{2}-$
$8x+9=0$有实数根,所以$a-6≠0,\Delta =(-8)^{2}-$
$4×(a-6)×9\geqslant0,$
解得$a\leqslant \frac {70}{9}$,且$a≠6.$
故a的最大整数值为7.
(2)当$a=7$时,原方程可化为$x^{2}-8x+9=0.$
因为x是一元二次方程$x^{2}-8x+9=0$的根,
所以$x^{2}-8x=-9.$
所以$2x^{2}-\frac {32x-7}{x^{2}-8x+11}=2x^{2}-\frac {32x-7}{-9+11}=$
$2x^{2}-16x+\frac {7}{2}=2(x^{2}-8x)+\frac {7}{2}=2×(-9)+$
$\frac {7}{2}=-\frac {29}{2}.$