《2025年同步测控优化设计九年级数学上册人教版精编版》

1. 一般地,二次函数 $ y = ax^{2} + bx + c $ 的图象叫做抛物线$ y = ax^{2} + bx + c $。

答案： 抛物线

2. 下列各点：$(-1,2)$,$(-1,-2)$,$(-2,-4)$,$(-2,4)$,其中在二次函数 $ y = -2x^{2} $ 的图象上的是(-1,-2)。

答案： (-1,-2)

3. 一般地,抛物线 $ y = ax^{2} $ 的对称轴是y轴,顶点是原点。当 $ a ＞ 0 $ 时,抛物线的开口向上,顶点是抛物线的最低点；当 $ a ＜ 0 $ 时,抛物线的开口向下,顶点是抛物线的最高点。对于抛物线 $ y = ax^{2} $,$\vert a\vert$ 越大,抛物线的开口越小。

答案： y轴 原点 向上 低 高 小

4. 抛物线 $ y = -\frac{2}{3}x^{2} $ 的对称轴是y轴,顶点是原点,开口向下,顶点是最高点。

答案： y轴 原点 向下 高

5. 请写出二次函数 $ y = 2x^{2} $ 和 $ y = -3x^{2} $ 具有的两个共同性质：(1)图象顶点都是原点；(2)图象都关于y轴对称。

答案：
(1)图象顶点都是原点
(2)图象都关于y轴对称

1. 抛物线 $ y = x^{2} $ 不具有的性质是(C)
A.开口向上
B.对称轴是 $ y $ 轴
C.当 $ x ＞ 0 $ 时,$ y $ 随 $ x $ 的增大而减小
D.函数有最小值

答案： C

2. 若点 $ M(m,n)(mn \neq 0) $ 在二次函数 $ y = ax^{2}(a \neq 0) $ 的图象上,则下列坐标表示的点也在该抛物线上的是(A)
A.$(-m,n)$
B.$(n,m)$
C.$(m^{2},n^{2})$
D.$(m,-n)$

答案： A

3. 已知物体从空中自由下落过程中,下落高度 $ h $ 关于时间 $ t $ 的函数解析式为 $ h = \frac{1}{2}gt^{2} $,其中 $ g $ 是一个常数,则这个函数的图象是(A)

答案： A

4. 已知二次函数 $ y_{1} = -4x^{2} $,$ y_{2} = -x^{2} $,$ y_{3} = -\frac{3}{5}x^{2} $,它们的图象的开口大小由小到大的顺序是(A)
A.$ y_{1},y_{2},y_{3} $
B.$ y_{3},y_{2},y_{1} $
C.$ y_{2},y_{1},y_{3} $
D.$ y_{3},y_{1},y_{2} $

答案： A

5. 抛物线形的桥拱如图所示,其函数解析式为 $ y = -\frac{1}{4}x^{2} $,当水位线在 $ AB $ 位置时,水面宽为 $ 12\ m $,这时水面离桥顶的高度 $ h $ 是(D)

A.$ 3\ m $
B.$ 2\sqrt{6}\ m $
C.$ 4\sqrt{3}\ m $
D.$ 9\ m $

答案： D

6. 已知 $ A(-1,y_{1}) $,$ B(-2,y_{2}) $,$ C(3,y_{3}) $ 三点都在二次函数 $ y = -\frac{1}{2}x^{2} $ 的图象上,则 $ y_{1} $,$ y_{2} $,$ y_{3} $ 的大小关系是y₃＜y₂＜y₁。

答案： y₃＜y₂＜y₁

7. 已知函数 $ y = ax^{2}(a \neq 0) $ 的图象与函数 $ y = 2x - 3 $ 的图象交于点 $ (1,b) $。
(1)试求 $ a $ 和 $ b $ 的值；
(2)求函数 $ y = ax^{2} $ 的解析式,并求其图象的顶点坐标和对称轴；
(3)$ x $ 取何值时,二次函数 $ y = ax^{2} $ 中的 $ y $ 值随 $ x $ 值的增大而增大？
(4)求抛物线与过点 $ (0,-2) $ 且与 $ x $ 轴平行的直线的两个交点与顶点构成的三角形的面积。

答案：
(1)将x=1,y=b代入y=2x-3,得b=-1. 所以交点坐标为(1,-1). 再将x=1,y=-1代入y=ax²,得a=-1. 故a=-1,b=-1.
(2)由
(1)知a=-1,故所求函数的解析式为y=-x²,则其图象的顶点坐标为(0,0),对称轴为y轴.
(3)当x≤0时,y值随x值的增大而增大.
(4)如图,设直线y=-2与抛物线的两交点为A,B,与y轴的交点为C,将y=-2代入y=-x²,解得x=±√2,因此点A坐标为(-√2,-2),点B坐标为(√2,-2),AB=√2-(-√2)=2√2,OC=2. 故S△AOB=1/2AB·OC=1/2×2√2×2=2√2.