《2025年暑假衔接暑假培优衔接16讲五年级数学》

【典例 4】两个自然数的最小公倍数是 108,最大公因数是 9,并且小数不是大数的因数。求这两个数。

答案：

点拨: 假设这两个自然数分别为 $ A $、$ B(A ＞ B) $,由题意设 $ A = 9 × a $, $ B = 9 × b $( $ a $、$ b $ 均为自然数,且公因数只有 1),则可得 $ [A,B] = 9 × a × b $,即 $ 9 × a × b = 108 $, $ a × b = 12 $,而 $ 12 = 12 × 1 = 6 × 2 = 4 × 3 $。所以,所求的两个数有三种可能:

(1) $ a = 12 $, $ b = 1 $,此时 $ A = 9 × 12 = 108 $, $ B = 9 × 1 = 9 $,不符合“小数不是大数的因数”的条件。

(2) $ a = 6 $, $ b = 2 $,不符合 $ a $、$ b $ 的公因数只有 1 的条件。

(3) $ a = 4 $, $ b = 3 $,此时 $ A = 9 × 4 = 36 $, $ B = 9 × 3 = 27 $,符合题意。

解答: $ 108 ÷ 9 = 12 $

$ 12 = 4 × 3 $

$ 9 × 4 = 36 $

$ 9 × 3 = 27 $

答: 大数是 36,小数是 27。

【典例 5】做衬衣需要三道工序,第一道工序每人每小时可完成 15 件,第二道工序每人每小时可完成 9 件,第三道工序每人每小时可完成 12 件。现在三道工序至少各配多少名工人才能搭配合适,使每道工序不产生积压或停工等料?

答案：

点拨: 要搭配合适,就是要使每小时内各道工序加工出的衬衣总件数相同,也就是求 15、9 和 12 的最小公倍数,然后用这个数除以每道工序每人的工效,求出应安排的工人数。

解答: $ [15,9,12] = 180 $

第一道工序安排: $ 180 ÷ 15 = 12 $(名)

第二道工序安排: $ 180 ÷ 9 = 20 $(名)

第三道工序安排: $ 180 ÷ 12 = 15 $(名)

答: 第一道工序安排 12 名工人,第二道工序安排 20 名工人,第三道工序安排 15 名工人。