《2025年暑假衔接暑假培优衔接16讲五年级数学》

【典例 3】已知分数$\frac{11}{41}$的分子、分母同时加上一个相同的数,得到一个新的分数$\frac{3}{8}$。求这个数。

答案：

点拨：从和或差不变入手。因为$\frac{11}{41}$的分子、分母相差$41 - 11 = 30$,当它们同时加上一个相同的数后,得到的新分数的分子、分母之间相差仍是 30,又因为这个新分数约分后变为$\frac{3}{8}$,分子、分母相差$8 - 3 = 5$,所以这个新分数约去的数应是$30÷5 = 6$,得到新分数为$\frac{3×6}{8×6}= \frac{18}{48}$,从而求出加上的数。

解答：$(41 - 11)÷(8 - 3) = 6$

$3×6 - 11 = 7或8×6 - 41 = 7$

答：$\frac{11}{41}$的分子、分母同时加上 7 后就变成$\frac{3}{8}$。

【典例 4】计算：$(1-\frac{1}{2})+(\frac{1}{2}-\frac{1}{3})+(\frac{1}{3}-\frac{1}{4})+…+(\frac{1}{1999}-\frac{1}{2000})$

答案：

点拨：有序排列,配对抵消。将本题中的括号去掉,运算符号按照减、加、减、加……有序排列,其中部分可以互相抵消,这样计算就简便了。

解答：$(1-\frac{1}{2})+(\frac{1}{2}-\frac{1}{3})+(\frac{1}{3}-\frac{1}{4})+…+(\frac{1}{1999}-\frac{1}{2000})$

$=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+…+\frac{1}{1998}-\frac{1}{1999}+\frac{1}{1999}-\frac{1}{2000}$

$=1-\frac{1}{2000}$

$=\frac{1999}{2000}$

【典例 5】计算：$\frac{1}{1×2}+\frac{1}{2×3}+\frac{1}{3×4}+\frac{1}{4×5}+\frac{1}{5×6}+…+\frac{1}{98×99}+\frac{1}{99×100}$

答案：

点拨：用拆分法把问题简化：我们把形如$\frac{1}{n×(n + 1)}$的分数(其中 n 为非零自然数)可以拆分成$\frac{1}{n}-\frac{1}{n + 1}$的形式,即$\frac{1}{n×(n + 1)}= \frac{1}{n}-\frac{1}{n + 1}$。这样这个算式中的每个加数都可以拆分成两个数的差,如$\frac{1}{1×2}= 1-\frac{1}{2}$,$\frac{1}{2×3}= \frac{1}{2}-\frac{1}{3}$,$\frac{1}{3×4}= \frac{1}{3}-\frac{1}{4}……$其中的部分可以互相抵消,把问题简化,结果就容易算出来了。我们还可以把$\frac{1}{n×(n + 1)}= \frac{1}{n}-\frac{1}{n + 1}$(其中 n 为非零自然数)的形式扩展为$\frac{a}{n×(n + a)}= \frac{1}{n}-\frac{1}{n + a}$(其中 n 为非零自然数)的形式。

解答：$\frac{1}{1×2}+\frac{1}{2×3}+\frac{1}{3×4}+\frac{1}{4×5}+\frac{1}{5×6}+…+\frac{1}{98×99}+\frac{1}{99×100}$

$=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+…+\frac{1}{98}-\frac{1}{99}+\frac{1}{99}-\frac{1}{100}$

$=1-\frac{1}{100}$

$=\frac{99}{100}$