《2025年初中必刷题八年级数学上册苏科版》

某校开展了主题为“生活中的一次函数”的项目学习,同学们找到了许多生活中的函数.下面实例中,变量之间的关系不是一次函数的是(B)
A.家庭用水的单价为 4.1 元/$m^{3}$,每月的水费支出与用水量之间的关系
B.百米赛跑中,时间与速度之间的关系
C.相同规格的 A4 纸整齐放置,这沓纸的厚度与纸的张数之间的关系
D.普通钟表指针转动的角度与所用时间的关系

答案： 1.B 【解析】家庭用水的单价为4.1元/m^{3},每月的水费支出与用水量之间的关系是一次函数,故选项A不符合题意;百米赛跑中,时间与速度之间的关系为时间=$\frac{100}{速度}$,不是一次函数,故选项B符合题意;每张A4纸的厚度一定,则这沓纸的厚度与纸的张数之间的关系是一次函数,故选项C不符合题意;普通钟表指针转动的角度与所用时间的关系是一次函数,故选项D不符合题意.故选B.

记$max\{x,y\}$表示 x,y($x \neq y$)两个数中的最大值,例如:$max\{1,2\} = 2$,则关于 x 的一次函数$y = max\{2x,x + 1\}$可以表示为(D)
A.$y = 2x$
B.$y = x + 1$
C.$y = \begin{cases}2x(x ＜ 1),\\x + 1(x ＞ 1)\end{cases} $
D.$y = \begin{cases}2x(x ＞ 1),\\x + 1(x ＜ 1)\end{cases} $

答案： 2.D 【解析】由题意可得,当2x＞x+1,即x＞1时,y=max{2x,x+1}=2x;当2x＜x+1,即x＜1时,y=max{2x,x+1}=x+1.综上,y=$\left\{\begin{array}{l} 2x(x＞1),\\ x+1(x＜1).\end{array}\right.$故选D.

3 [中]新定义:$[a,b]为一次函数y = ax + b(a \neq 0,a,b$为实数)的“关联数”.若“关联数”为$[3,m - 2]$的一次函数是正比例函数,则点$(1 - m,1 + m)$在第二象限.

答案： 3.二 【解析】
∵"关联数"为[3,m-2]的一次函数是正比例函数,即y=3x+m-2是正比例函数,
∴m-2=0,解得m=2,则1-m=-1,1+m=3,故点(1-m,1+m)在第二象限.故答案为二.

4 [2025 江苏泰州质检,中]设函数$y = (m - 2)\cdot x^{2 - |m|} + m - 1$.
(1)当 m 为何值时,它是一次函数?
(2)当 m 为何值时,它是正比例函数?

答案： 4.【解】
(1)
$∵函数y=(m-2)x^{2-|m|}+m-1是一次函数,$
∴$\left\{\begin{array}{l} m-2≠0,\\ 2-|m|=1,\end{array}\right.$解得m=±1.
(2)
$∵函数y=(m-2)x^{2-|m|}+m-1是正比例函数,$
∴$\left\{\begin{array}{l} m-2≠0,\\ 2-|m|=1,\\ m-1=0,\end{array}\right.$解得m=1.

5 [2025 山西太原调研,中]“春种一粒粟,秋收万颗子.”唐代诗人李绅这句诗中的“粟”即谷子(去皮后则称为“小米”).我省有着“小杂粮王国”的美誉,谷子是我省杂粮谷物中的大类.某小米经销商要将规格相同的 1000 袋小米运往 A、B、C 三地销售,要求运往 C 地的袋数是运往 A 地袋数的 3 倍,各地的运费如下表所示:
|运往地|A 地|B 地|C 地|
|运费(元/袋)|20|10|15|
(1)设运往 A 地的小米为 x 袋,总运费为 y 元,试写出 y 与 x 的函数关系式;
(2)若总运费不超过 14 000 元,则最多可运往 A 地多少袋小米?

答案： 5.【解】
(1)根据题意,得y=20x+15×3x+10×(1000-3x-x)=25x+10000.
(2)
∵y≤14000,
∴25x+10000≤14000,解得x≤160.
答:若总运费不超过14000元,则最多可运往A地160袋小米.

6 核心素养运算能力[较难]如图(1),正方形 ABCD 的边长为 4 cm,E 为 AD 边的中点,F 为 AB 边上一点,动点 P 从点 B 出发,沿$B \to C \to D \to E$向终点 E 以每秒 a cm 的速度运动,设运动时间为 t s,$\triangle PBF的面积为S cm^{2}$.S 与 t 的部分函数图象如图(2)所示,已知点$M(1,\frac{3}{2}),N(5,6)$在 S 与 t 的函数图象上.
(1)求线段 BF 的长及 a 的值.
(2)写出 S 与 t 的函数关系式.
(3)当 t 为多少时,S 为 4?

答案： 6.【解】
(1)根据题意可知,当点P在CD上时,△PBF的面积S=6,则有$\frac{1}{2}$×BF×4=6,解得BF=3.当t=1时,S=$\frac{3}{2}$,BP=a,则有$\frac{1}{2}$×BF×BP=$\frac{3}{2}$,即$\frac{1}{2}$×3a=$\frac{3}{2}$,解得a=1.故线段BF的长为3,a的值为1.
(2)当0＜t≤4时,点P在BC边上运动,S=$\frac{1}{2}$×BF×BP=$\frac{1}{2}$×3×t=$\frac{3}{2}$t;当4＜t≤8时,点P在CD边上运动,此时S=6;当8＜t≤10时,点P在线段DE上运动,此时S=$\frac{1}{2}$×BF×AP=$\frac{1}{2}$×3×(12-t)=18-$\frac{3}{2}$t.
综上,S=$\left\{\begin{array}{l} \frac{3}{2}t(0＜t≤4),\\ 6(4＜t≤8),\\ 18-\frac{3}{2}t(8＜t≤10).\end{array}\right.$
(3)当S=4时,①$\frac{3}{2}$t=4,解得t=$\frac{8}{3}$.②18-$\frac{3}{2}$t=4,解得t=$\frac{28}{3}$.故当t=$\frac{8}{3}$或$\frac{28}{3}$时,S为4.