《2025年初中必刷题八年级数学上册苏科版》

1 [中]如图,在△ABC 中,AB= 6,BC= 5,AC= 4,AD 平分∠BAC,交 BC 于点 D,在 AB 上截取 AE= AC,则△BDE 的周长为(B)

A.8
B.7
C.6
D.5

答案： B 【解析】
∵ AD 平分∠BAC，
∴ ∠EAD = ∠CAD. 在△ADE 和△ADC 中，$\left\{\begin{array}{l} AE=AC,\\ ∠EAD=∠CAD,\\ AD=AD,\end{array}\right.$
∴ △ADE≌△ADC(SAS)，
∴ ED = CD，
∴ BC = BD + CD = BD + DE = 5，
∴ △BDE 的周长为 BE + BD + ED = (6 - 4) + 5 = 7. 故选 B.

2 新考法 [2025 四川成都期中,中]如图是由 9 个完全相同的小正方形拼接而成的 3×3 网格,图形 ABCD 中各个顶点均为格点,设∠ABC= α,∠BCD= β,∠BAD= γ,则 α-β-γ 的值为( )


A.45°
B.60°
C.75°
D.135°

答案：
A 【解析】如图，根据题意知，BE = AG，∠BEC = ∠AGB = 90°，EC = GB，
∴ △BEC≌△AGB(SAS)，
∴ ∠ECB = ∠GBA.
∵ ∠ECB + ∠EBC = 90°，
∴ ∠GBA + ∠EBC = 90°，
∴ ∠ABC = 90° = α.
∵ ∠BCD + ∠CBD = β + ∠CBD = 90°，∠CBD + ∠ABD = 90°，
∴ ∠ABD = β.
∵ ∠ADF = ∠ABD + ∠BAD = 45°，
∴ β + γ = 45°，
∴ α - β - γ = α - (β + γ) = 90° - 45° = 45°，故选 A.

3 [2024 江苏泰州期中,中]如图,在△ABC 中,∠B= ∠C,BE= CD,BD= CF,则∠EDF 等于(A)
A.90°- $\frac{1}{2}$∠A
B.∠A
C.90°+∠A
D.90°+ $\frac{1}{2}$∠A

答案： A 【解析】在△BDE 和△CFD 中，$\left\{\begin{array}{l} BE=CD,\\ ∠B=∠C,\\ BD=CF,\end{array}\right.$
∴ △BDE≌△CFD(SAS)，
∴ ∠BDE = ∠CFD.
∵ ∠EDF = 180° - (∠BDE + ∠CDF) = 180° - (∠CFD + ∠CDF) = 180° - (180° - ∠C) = ∠C，且∠A + ∠B + ∠C = 180°，
∴ ∠A + 2∠EDF = 180°，
∴ ∠EDF = 90° - $\frac{1}{2}$∠A. 故选 A.

4 [2025 江苏苏州调研,中]如图,已知 AB= AD,BC= DE,∠CAD= 12°,∠B= ∠D= 30°,∠EAB= 128°,则∠EGF 的度数为110°。

答案： 110° 【解析】在△ABC 和△ADE 中，$\left\{\begin{array}{l} AB=AD,\\ ∠B=∠D,\\ BC=DE,\end{array}\right.$
∴ △ABC≌△ADE(SAS)，
∴ ∠CAB = ∠EAD.
∵ ∠CAD = 12°，∠EAB = 128°，
∴ ∠CAB = ∠EAD = $\frac{1}{2}$(∠EAB - ∠CAD) = 58°.
∵ ∠AFG = ∠DAB + ∠B = ∠CAD + ∠CAB + ∠B = 12° + 58° + 30° = 100°，∠E = 180° - ∠EAD - ∠D = 180° - 58° - 30° = 92°，
∴ ∠EGF = 360° - ∠E - ∠AFG - ∠EAD = 110°. 故答案为 110°.

5 [2025 浙江杭州质检,较难]在△ABC 中,AB= AC,点 D 是直线 BC 上一点(不与 B,C 重合),以 AD 为一边在 AD 的右侧作△ADE,使 AD= AE,∠DAE= ∠BAC,连接 CE。


(1)如图(1),当点 D 在线段 BC 上时,若∠BAC= 90°,则∠BCE= ____°；
(2)如图(2),点 D 在直线 BC 上移动,若∠BAC= α,∠BCE= β,则 α 与 β 之间的数量关系为____。

答案：

(1)90
(2)α+β=180°或α=β 【解析】
(1)
∵ ∠DAE = ∠BAC = 90°，
∴ ∠BAC - ∠DAC = ∠DAE - ∠DAC，
∴ ∠BAD = ∠CAE. 在△BAD 和△CAE 中，$\left\{\begin{array}{l} AB=AC,\\ ∠BAD=∠CAE,\\ AD=AE,\end{array}\right.$
∴ △BAD≌△CAE(SAS)，
∴ ∠B = ∠ACE.
∵ ∠BAC = 90°，
∴ ∠B + ∠ACB = 90°，
∴ ∠BCE = ∠ACE + ∠ACB = 90°.
(2)①当点 D 在线段 BC 上时，如题图
(2).
∵ ∠DAE = ∠BAC，
∴ ∠BAC - ∠DAC = ∠DAE - ∠DAC，
∴ ∠BAD = ∠CAE. 在△BAD 和△CAE 中，$\left\{\begin{array}{l} AB=AC,\\ ∠BAD=∠CAE,\\ AD=AE,\end{array}\right.$
∴ △BAD≌△CAE(SAS)，
∴ ∠B = ∠ACE. 在△ABC 中，∠BAC + ∠B + ∠ACB = 180°，
∴ ∠BAC + ∠ACE + ∠ACB = 180°，
∴ ∠BAC + ∠BCE = 180°.
∵ ∠BAC = α，∠BCE = β，
∴ α + β = 180°.
②当点 D 在 BC 的延长线上时，如图
(1).
∵ ∠DAE = ∠BAC，
∴ ∠BAC + ∠DAC = ∠DAE + ∠DAC，
∴ ∠BAD = ∠CAE. 在△BAD 和△CAE 中，$\left\{\begin{array}{l} AB=AC,\\ ∠BAD=∠CAE,\\ AD=AE,\end{array}\right.$
∴ △BAD≌△CAE(SAS)，
∴ ∠B = ∠ACE. 在△ABC 中，∠BAC + ∠B + ∠ACB = 180°，
∴ ∠BAC + ∠ACE + ∠ACB = 180°，
∴ ∠BAC + ∠BCE = 180°.
∵ ∠BAC = α，∠BCE = β，
∴ α + β = 180°.
③当点 D 在 CB 的延长线上时，如图
(2). 同理可得△BAD≌△CAE，
∴ ∠ABD = ∠ACE. 在△ABC 中，∠BAC + ∠ABC + ∠ACB = 180°，
∴ ∠BAC + 180° - ∠ABD + ∠ACE - ∠BCE = 180°，
∴ ∠BAC = ∠BCE.
∵ ∠BAC = α，∠BCE = β，
∴ α = β. 综上所述，α 与 β 之间的数量关系为 α + β = 180°或 α = β.

6 核心素养 几何直观 [2025 江苏南通期末,较难]
【探究与发现】
(1)如图(1),AD 是△ABC 的中线,延长 AD 至点 E,使 ED= AD,连接 BE,写出图中的全等三角形：____。(用“≌”连接)
【理解与应用】
(2)填空：如图(2),EP 是△DEF 的中线,若 EF= 5,DE= 3,设 EP= x,则 x 的取值范围是____。
(3)如图(3),AD 是△ABC 的中线,∠BAC= ∠ACB,点 Q 在 BC 的延长线上,QC= BC,求证：AQ= 2AD。

答案：

(1)【解】
∵ AD 是△ABC 的中线，
∴ CD = BD. 在△ADC 与△EDB 中，$\left\{\begin{array}{l} AD=DE,\\ ∠ADC=∠BDE,\\ CD=BD,\end{array}\right.$
∴ △ADC≌△EDB(SAS). 故答案为△ADC≌△EDB.
(2)【解】如图
(1)，延长 EP 至点 Q，使 PQ = PE，连接 FQ.
∵ EP 是△DEF 的中线，
∴ PD = FP. 在△PDE 与△PQF 中，$\left\{\begin{array}{l} PE=PQ,\\ ∠EPD=∠QPF,\\ PD=PF,\end{array}\right.$
∴ △EDP≌△QFP(SAS)，
∴ FQ = DE = 3. 在△EFQ 中，EF - FQ ＜ QE ＜ EF + FQ，即 5 - 3 ＜ 2x ＜ 5 + 3，
∴ x 的取值范围是 1 ＜ x ＜ 4. 故答案为 1 ＜ x ＜ 4.
(3)【证明】如图
(2)，延长 AD 至 M，使 MD = AD，连接 BM，
∴ AM = 2AD.
∵ AD 是△ABC 的中线，
∴ BD = CD. 在△BMD 与△CAD 中，$\left\{\begin{array}{l} MD=AD,\\ ∠BDM=∠CDA,\\ BD=CD,\end{array}\right.$
∴ △BMD≌△CAD(SAS)，
∴ BM = CA，∠M = ∠CAD，
∴ ∠BAC = ∠BAM + ∠CAD = ∠BAM + ∠M.
∵ ∠ACQ = 180° - ∠ACB，∠MBA = 180° - (∠BAM + ∠M) = 180° - ∠BAC，∠BAC = ∠ACB，
∴ ∠ACQ = ∠MBA.
∵ QC = BC，
∴ QC = AB. 在△ACQ 与△MBA 中，$\left\{\begin{array}{l} CA=BM,\\ ∠ACQ=∠MBA,\\ QC=AB,\end{array}\right.$
∴ △ACQ≌△MBA(SAS)，
∴ AQ = AM = 2AD.