《2025年初中必刷题八年级数学上册苏科版》

1 某城市几条道路的位置关系如图所示,道路$AB// CD$,道路AB与AE的夹角$∠BAE= 50^{\circ }$.城市规划部门想新修一条道路CE,要求$CF= EF$,则$∠E$的度数为(B)
A.$23^{\circ }$
B.$25^{\circ }$
C.$27^{\circ }$
D.$30^{\circ }$

答案： B　[解析]
∵AB//CD,
∴∠DFE=∠BAE=50°.
∵CF=EF,
∴∠C=∠E.
∵∠DFE=∠C+∠E,
∴∠E=$\frac{1}{2}$∠DFE=$\frac{1}{2}$×50°=25°.故选B.

2 新考法 [2025江苏苏州质检]我们定义:等腰三角形的顶角与一个底角度数的比值叫作等腰三角形的“特征值”,记作k,若$k= \frac {1}{4}$,则该等腰三角形的顶角为( )

A.$20^{\circ }$
B.$36^{\circ }$
C.$40^{\circ }$
D.$80^{\circ }$

答案：
A　[解析]如图.在△ABC中,AB=AC,
∴∠B=∠C;
∵k=$\frac{1}{4}$,
∴∠A:∠B=1:4.又
∵∠A+∠B+∠C=180°,
∴9∠A=180°,
∴∠A=20°,故选A.

3 [2024湖南岳阳期末]已知锐角$∠AOB= 40^{\circ }$,如图,按下列步骤作图:①在OA边上取一点D,以O为圆心,OD长为半径画弧,交OB于点C,连接CD.②以D为圆心,DO长为半径画弧,交OB于点E,连接DE,则$∠CDE$的度数为____30°.

答案： 30°　[解析]由作图步骤①可知OC=OD,
∴∠OCD=∠ODC;
∵在△OCD中，∠COD = 40°,∠OCD=∠ODC,
∴∠OCD=$\frac{1}{2}$(180°−∠COD)=$\frac{1}{2}$×(180°−40°)=70°.由作图步骤②可知DO=DE,
∴∠DEO=∠DOE=40°.
∵∠OCD是△CDE的一个外角，
∴∠OCD=∠DEC+∠CDE,
∴∠CDE=∠OCD−∠DEC=70°−40°=30°.故答案为30°.

4 如图,$△ABC$中,$AB= AC,∠A= 40^{\circ }$,点P是$△ABC$内一点,连接PB,PC,若$∠1= ∠2$,则$∠BPC$的度数是____110°.

答案： 110°　[解析]
∵△ABC中,AB=AC,∠A=40°,
∴∠ABC=∠ACB=$\frac{1}{2}$×(180°−40°)=70°,
∴∠1+∠PBC=70°.
∵∠1=∠2,
∴∠2+∠PBC=70°,
∴∠BPC=180°−(∠2+∠PBC)=180°−70°=110°.

5 [2024江苏常州新北区期中]如图,P,Q是$△ABC$的边BC上的两点,并且$BP= PQ= QC= AP= AQ$,则$∠BAC$的度数是____120°.

答案： 120°　[解析]
∵BP=PQ=QC=AP=AQ,
∴∠PAQ=∠APQ=∠AQP=60°,∠B=∠BAP,∠C=∠CAQ.又
∵∠BAP+∠ABP=∠APQ,∠C+∠CAQ=∠AQP,
∴∠BAP=∠CAQ=30°,
∴∠BAC=120°.故答案为120°.

如图,在$△ABC$中,$AD⊥BC,AB= AC$,若$BD= 4$,则DC的长是(B)
A.2
B.4
C.6
D.8

答案： B　[解析]
∵AD⊥BC,AB=AC,BD=4,
∴CD=BD=4,故选B.

7 [2025江苏苏州期中]如图,在等腰$△ABC$中,$AB= AC$,D为BC延长线上一点,$EC⊥AC且AC= CE$,垂足为C,连接BE,若$BC= 6$,则$△BCE$的面积为____.

答案：
9　[解析]如图,过A作AH⊥BC于H,过E作EF⊥BD于F.
∵AB=AC,BC=6,
∴BH=HC=3.
∵∠ACE=90°,
∴∠ACH+∠ECF=90°.
∵∠CAH+∠ACH=90°,
∴∠ECF=∠CAH.
在△ACH与△CEF中,{∠AHC=∠CFE=90°,∠CAH=∠ECF,AC=CE},
∴△ACH≌△CEF(AAS),
∴EF=CH=3,
∴△BCE的面积为$\frac{1}{2}$BC·EF=$\frac{1}{2}$×6×3=9,故答案为9.

8 如图,在$△ABC$中,$∠BAC= 90^{\circ }$,E为边BC上的点,且$AB= AE$,D为线段BE的中点,过点E作$EF⊥AE$,过点A作$AF// BC$,且AF,EF相交于点F.
(1)求证:$∠C= ∠BAD$.
(2)求证:$AC= EF$.

答案： [证明]
(1)
∵AB=AE,D为线段BE的中点,
∴AD⊥BC,
∴∠C+∠DAC=90°.
∵∠BAC=∠BAD+∠DAC=90°,
∴∠C=∠BAD.
(2)
∵AF//BC,
∴∠FAE=∠AEB.
∵AB=AE,
∴∠B=∠AEB,
∴∠B=∠FAE.又
∵∠AEF=∠BAC=90°,AB=AE,
∴△ABC≌△EAF (ASA),
∴AC=EF.

9 等腰三角形的一个角比另一个角的2倍少$20^{\circ }$,则等腰三角形顶角的度数为44°或80°或140°.

答案： 44°或80°或140°　[解析]设另一个角的度数是x,则这个角的度数是2x−20°.
①当度数为x的角是顶角，度数为2x−20°的角是底角时,x+2(2x−20°)=180°,解得x=44°,所以顶角的度数是44°;
②当度数为x的角是底角，度数为2x−20°的角是顶角时，2x+(2x−20°)=180°,解得x=50°,所以顶角的度数是2×50°−20°=80°;
③当度数为x与2x−20°的角都是底角时，x=2x−20°,解得x=20°,所以顶角的度数是180°−20°×2=140°.
综上所述，这个等腰三角形顶角的度数是44°或80°或140°.