《2025年初中必刷题八年级数学上册苏科版》

1 [中]如图,已知$AB⊥CD$,$AB= CD$,$E$,$F是AD$上的两个点,$CE⊥AD$,$BF⊥AD$。若$AD= a$,$BF= b$,$CE= c$,则$EF$的长为(B)

A.$a+b-c$
B.$b+c-a$
C.$a+c-b$
D.$a-b$

答案： B 【解析】
∵ AB⊥CD，CE⊥AD，
∴ ∠C + ∠D = 90°，∠A + ∠D = 90°，
∴ ∠A = ∠C. 又
∵ AB = CD，∠AFB = ∠CED = 90°，
∴ △ABF≌△CDE(AAS)，
∴ BF = DE = b，CE = AF = c.
∵ AE = AD - DE = a - b，
∴ EF = AF - AE = c - (a - b) = c - a + b. 故选 B.

2 [2025 河北唐山期中,较难]已知$∠AOB= 90^{\circ }$,$OA= OB$,直线$l是经过∠AOB顶点O$的一条直线($l$不与角的两边重合),作$AC⊥l$,$BD⊥l$,垂足分别为$C$,$D$。甲、乙两位同学给出自己的结论：
甲：当直线$l穿过∠AOB$内部时,$DC= BD-AC$；
乙：当直线$l在∠AOB$外部时,$DC= BD+AC$。
对于上述的两个结论,下列说法正确的是( )

A.只有甲正确
B.只有乙正确
C.甲、乙都正确
D.甲、乙都不正确

答案：
B 【解析】
(1)如图
(1)，当直线 l 穿过∠AOB 内部，且点 C 在点 D 的左侧时，
∵ AC⊥l，BD⊥l，
∴ ∠ACO = ∠ODB = 90°，
∴ ∠A + ∠AOC = 90°.
∵ ∠AOB = 90°，
∴ ∠AOC + ∠BOD = 90°，
∴ ∠A = ∠BOD. 在△ACO 和△ODB 中，{∠ACO = ∠ODB，∠A = ∠BOD，OA = OB}，
∴ △ACO ≌ △ODB(AAS)，
∴ AC = OD，OC = BD，
∴ 此时 CD = OD - OC = AC - BD，故甲不正确.
如图
(2)，当直线 l 在∠AOB 外部时，
∵ AC⊥l，BD⊥l，
∴ ∠ACO = ∠ODB = 90°，
∴ ∠A + ∠AOC = 90°.
∵ ∠AOB = 90°，
∴ ∠AOC + ∠BOD = 90°，
∴ ∠A = ∠BOD. 在△ACO 和△ODB 中，{∠ACO = ∠ODB，∠A = ∠BOD，OA = OB}，
∴ △ACO≌△ODB(AAS)，
∴ AC = OD，OC = BD，
∴ CD = OD + OC = AC + BD，故乙正确. 故选 B.

3 [2025 江苏南京质检,中]如图,在正方形$ABCD$中,$AB= 11$,$E在AB$边上,$F在BC$边上,且$BF= 3$,将$EF绕着点F顺时针旋转90^{\circ }得到GF$,连接$DG$,则$DG$的长的最小值为______。

答案：
8 【解析】如图，过点 G 作 GH⊥BC，垂足为 H，
∴ ∠GHF = 90°.
∵ 四边形 ABCD 是正方形，
∴ AB = CD = 11，∠B = 90°，
∴ ∠B = ∠GHF = 90°. 由旋转得 EF = FG，∠EFG = 90°，
∴ ∠EFB + ∠GFH = 90°.
∵ ∠BEF + ∠BFE = 90°，
∴ ∠BEF = ∠GFH，
∴ △EBF≌△FHG(AAS)，
∴ BF = GH = 3，
∴ 点 G 在与 BC 平行且与 BC 的距离为 3 的直线上，
∴ 当点 G 在 CD 边上时，DG 的长最小，此时 DG = 11 - 3 = 8，
∴ DG 的长的最小值为 8，故答案为 8.

4 [2025 江苏南通期中,中]如图所示,$AC平分∠BAD$,$∠B+∠D= 180^{\circ }$,$CE⊥AD于点E$,$AD= 13cm$,$AB= 7cm$,则$DE$的长度为______$cm$。

答案：
3 【解析】如图，过 C 作 CF⊥AB 交 AB 的延长线于点 F.
∵ AC 平分∠BAD，
∴ ∠FAC = ∠EAC.
∵ CE⊥AD，CF⊥AB，
∴ ∠BFC = ∠CEA = ∠CED = 90°. 在△AFC 和△AEC 中，{∠FAC = ∠EAC，∠CFA = ∠CEA，AC = AC}，
∴ △AFC≌△AEC(AAS)，
∴ AF = AE，CF = CE.
∵ ∠ABC + ∠D = 180°，∠ABC + ∠FBC = 180°，
∴ ∠FBC = ∠EDC，
∴ △FBC≌△EDC(AAS)，
∴ BF = ED，
∴ AD + AB = AE + ED + AF - BF = 2AE. 又
∵ AD = 13 cm，AB = 7 cm，
∴ 2AE = 13 + 7 = 20(cm)，
∴ AE = 10 cm，
∴ DE = AD - AE = 13 - 10 = 3(cm). 故答案为 3.

5 [较难]如图,在$△ABC$中,$∠ACB= 90^{\circ }$,$AC= 7cm$,$BC= 3cm$,$CD为AB$边上的高,点$E从点B$出发,在直线$BC上以2cm/s$的速度运动,过点$E作BC的垂线交直线CD于点F$,当点$E$运动______$s$时,$CF= AB$。

答案：
2 或 5 【解析】
∵ ∠ACB = 90°，
∴ ∠A + ∠CBD = 90°.
∵ CD 为 AB 边上的高，
∴ ∠CDB = 90°，
∴ ∠BCD + ∠CBD = 90°，
∴ ∠A = ∠BCD.
∵ ∠BCD = ∠ECF，
∴ ∠ECF = ∠A.
∵ 过点 E 作 BC 的垂线交直线 CD 于点 F，
∴ ∠CEF = 90° = ∠ACB. 在△CEF 和△ACB 中，{∠ECF = ∠A，∠CEF = ∠ACB，CF = AB}，
∴ △CEF≌△ACB(AAS)，
∴ CE = AC = 7 cm. 如图，分两种情况：①当点 E 在线段 BC 的延长线上运动时，BE = CE + BC = 7 + 3 = 10(cm).
∵ 点 E 从点 B 出发，在直线 BC 上以 2 cm/s 的，
∴ E 运动了$\frac{10}{2}$ = 5(s)；②当点 E 在线段 CB 的延长线上运动时，BE' = CE' - BC = 7 - 3 = 4(cm)，
∴ E 运动了$\frac{4}{2}$ = 2(s). 故答案为 2 或 5.
思路分析
(2)由 FD//BC 得到一对同位角相等，再结合
(1)的结论等量代换得到一对角相等，然后根据 AF 为∠BAE 的平分线得到一对角相等，结合 AF = AF，利用“AAS”证明△ABF≌△ADF，利用全等三角形对应边相等得到 AB = AD，由 DC = AC - AD 即可求解.
易错警示 注意点 E 的位置有两种情况，可以在线段 BC 的延长线上，也可以在线段 CB 的延长线上.

6 核心素养 几何直观 [2025 江苏泰州调研,较难]小聪同学学了《全等三角形的判定》后,在已知条件不变的情况下,对一道练习题进行了拓展探究。
【原题呈现】如图(1),$AC⊥BC$,$DC⊥EC$,$AC= BC$,$DC= EC$。图中$AE$,$BD$有怎样的数量关系和位置关系？试证明你的结论。
(1)解决上述问题；
(2)如图(2),连接$BE$,若$BC$,$EC分别平分∠DBE$,$∠AEB$,求$∠BCE$的度数；
(3)如图(3),连接$AD$,$BE$,过点$C作CF⊥BE于点F$,延长$FC交AD于点G$,求证：点$G是AD$的中点。

答案：

(1)【解】AE = BD，AE⊥BD. 证明：如图
(1)，设 AE，BD 相交于点 P，AE，CD 相交于点 K.
∵ AC⊥BC，DC⊥EC，
∴ ∠ACB = ∠DCE = 90°，
∴ ∠ACB + ∠ACD = ∠DCE + ∠ACD，即∠BCD = ∠ACE. 在△ACE 和△BCD 中，{AC = BC，∠ACE = ∠BCD，EC = DC}，
∴ △ACE≌△BCD(SAS)，
∴ AE = BD，∠AEC = ∠BDC.
∵ ∠CKE = ∠PKD，
∴ ∠DPK = ∠DCE = 90°，
∴ AE⊥BD.
(2)【解】
∵ BC，EC 分别平分∠DBE，∠AEB，
∴ ∠CBD = ∠CBE，∠CEA = ∠CEB.
∵ △ACE≌△BCD，
∴ ∠CAE = ∠CBD，
∴ ∠CAE = ∠CBE. 又
∵ CE = CE，
∴ △CAE≌△CBE(AAS)，
∴ ∠ACE = ∠BCE.
∵ ∠ACB = 90°，
∴ ∠BCE = ∠ACE = $\frac{360° - 90°}{2}$ = 135°.
(3)【证明】如图
(2)，过点 D 作 DH⊥FG 交 FG 的延长线于点 H，过点 A 作 AM⊥FG 于点 M，则∠DHG = ∠AMG = ∠AMC = 90°.
∵ CF⊥BE，
∴ ∠CFE = ∠CFB = 90°，
∴ ∠FCE + ∠CEF = 90°.
∵ ∠DCE = 90°，
∴ ∠DCH + ∠FCE = 90°，
∴ ∠DCH = ∠CEF. 又
∵ ∠CHD = ∠CFE = 90°，DC = EC，
∴ △CHD≌△EFC(AAS)，
∴ DH = CF. 同理可得△AMC≌△CFB，
∴ AM = CF，
∴ DH = AM.
∵ ∠DHG = ∠AMG = 90°，∠DGH = ∠AGM，
∴ △DGH≌△AGM(AAS)，
∴ DG = AG，即点 G 是 AD 的中点.