《2025年初中必刷题八年级数学上册苏科版》

1 [2025 北京海淀区期中,中]如图,在直角三角形 ABC 中,∠ABC = 90°,点 D 沿 CB 自点 C 向点 B 运动(点 D 与点 C,B 不重合),作 BE⊥AD 于点 E,CF⊥AD 的延长线于点 F,在点 D 的运动过程中,BE + CF 的值逐渐(B)

A.变小
B.变大
C.不变
D.无法确定

答案： B 【解析】
∵ △ABC 的面积不变，点 D 沿 CB 自点 C 向点 B 运动时 AD 逐渐减小，
∴ BE+CF 的值逐渐变大，故选 B.

如图,点 E 是长方形 ABCD 内任意一点,连接 AE,BE,CE,DE 把长方形分成 4 个三角形,将△ABE,△BCE,△CDE,△ADE 的面积分别记为$ S_1,S_2,S_3,S_4.$已知长方形的面积,则一定可求出的值是(D)
$A.S_1$
$B.S_1 + S_2$
$C.S_1 + S_2 + S_3$
$D.S_1 + S_3$

答案： D 【解析】设△ABE 的边 AB 上的高为 h₁，△BCE 的边 BC 上的高为 h₂，△CDE 的边 CD 上的高为 h₃，△ADE 的边 AD 上的高为 h₄.
∵ 长方形 ABCD 中，AB=CD，AD=BC，
∴ h₁+h₃=BC，h₂+h₄=AB.
∵ S₁=$\frac{1}{2}$AB·h₁，S₂=$\frac{1}{2}$BC·h₂，S₃=$\frac{1}{2}$CD·h₃，S₄=$\frac{1}{2}$AD·h₄，已知长方形的面积，即已知 AB·BC 的值，
∴ S₁ 不可求，故 A 选项不符合题意；S₁+S₂=$\frac{1}{2}$(AB·h₁+BC·h₂)不可求，故 B 选项不符合题意；S₁+S₂+S₃=$\frac{1}{2}$(AB·h₁+BC·h₂+CD·h₃)=$\frac{1}{2}$(AB·BC+BC·h₂)不可求，故 C 选项不符合题意；S₁+S₃=$\frac{1}{2}$AB·h₁$\frac{+1}{2}$CD·h₃=$\frac{1}{2}$AB·BC 可求，故 D 选项符合题意. 故选 D.

3 [2025 江苏宿迁质检,中]如图,在△ABC 中,AD 为 BC 边上的中线,DE⊥AB 于点 E,DF⊥AC 于点 F,AB = 3,AC = 4,DF = 1.5,则 DE = ______.
2

答案：
∵AD为BC边上的中线，
∴BD=DC，
∴S△ABD=S△ADC.
∵DE⊥AB，DF⊥AC，AB=3，AC=4，DF=1.5，
∴$\frac{1}{2}AB·DE=\frac{1}{2}AC·DF$，
即$\frac{1}{2}×3×DE=\frac{1}{2}×4×1.5$，
解得DE=2.
故答案为2.

4 [2025 湖北武汉调研,中]如图,点 G 为△ABC 的重心,CF⊥BE 于 G,若 AG×BC = 16,则△BGC 面积的最大值是______.


4

答案：
∵G是△ABC的重心，
∴AG=2GD。
∵CF⊥BE于G，即CG⊥BG，
∴S△BGC=$\frac{1}{2}$×BG×CG。
又AG×BC=16，AG=2GD，
∴GD=$\frac{1}{2}$AG，BC=$\frac{16}{AG}$。
当GD⊥BC时，S△BGC=$\frac{1}{2}$×BC×GD=$\frac{1}{2}$×$\frac{16}{AG}$×$\frac{1}{2}$AG=4。
故△BGC面积的最大值是4。
4

(1)通过观察,可以发现△ABC 是(C)
A. 锐角三角形 B. 钝角三角形 C. 直角三角形 D. 直角三角形或锐角三角形
(2)仅利用无刻度的直尺画出△ABC 的中线 AD 与角平分线 CE.如图，线段 AD 即为所求作的△ABC 的中线，线段 CE 即为所求作的△ABC 的角平分线.
(3)△ABC 的面积为______12,△ABD 的面积为______6.

答案： 【解】
(1)由格点可知，∠ACB=45°+45°=90°，
∴ △ABC 是直角三角形，故选 C.
(2)如图，线段 AD 即为所求作的△ABC 的中线，线段 CE 即为所求作的△ABC 的角平分线.
(3)由题意知 S△ABC=(3+4)×$\frac{7}{2}$ - 3×$\frac{3}{2}$ - 4×$\frac{4}{2}$=12，
∴ S△ABD=$\frac{1}{2}$S△ABC=6，故答案为 12，6.

6 核心素养 模型观念 [2025 江苏南京质检,较难]如图(1),有一块三角形菜地,若从顶点 A 修一条笔直的小路交 BC 于点 D,小路正好将菜地分成面积相等的两部分.
(1)找出 D 点的位置并说明理由.
(2)假设在菜地中有一点 E,如图(2)所示,BC 上是否存在点 F,使折线 A - E - F 将△ABC 分为面积相等的两部分?若存在,请找出 F 点的位置,并说明理由.

答案： $(1)$ 找出$D$点的位置并说明理由
解：$D$点是$BC$边的中点。
理由：根据三角形面积公式$S = \frac{1}{2}ah$（$a$表示底，$h$表示这条底对应的高）。
在$\triangle ABC$中，$\triangle ABD$与$\triangle ACD$的高相同（都是$A$到$BC$的距离），当$BD = CD$时，根据三角形面积公式$S_{\triangle ABD}=\frac{1}{2}BD× h$，$S_{\triangle ACD}=\frac{1}{2}CD× h$，因为$BD = CD$，所以$S_{\triangle ABD}=S_{\triangle ACD}$，即$D$为$BC$中点时，小路$AD$正好将菜地分成面积相等的两部分。
$(2)$ 判断$BC$上是否存在点$F$，使折线$A - E - F$将$\triangle ABC$分为面积相等的两部分，并找出$F$点的位置，说明理由
解：存在。
连接$AE$，过点$D$（$D$为$BC$中点）作$DF// AE$交$BC$于点$F$，则点$F$即为所求。
理由：连接$AF$，因为$DF// AE$，所以$S_{\triangle ADE}=S_{\triangle AFE}$（同底等高的三角形面积相等，$\triangle ADE$与$\triangle AFE$以$AE$为底时，高相等）。
又因为$D$是$BC$中点，所以$S_{\triangle ABD}=S_{\triangle ACD}=\frac{1}{2}S_{\triangle ABC}$。
$S_{ABEF}=S_{\triangle ABD}-S_{\triangle ADE}+S_{\triangle AFE}=S_{\triangle ABD}=\frac{1}{2}S_{\triangle ABC}$，$S_{AFCC}=S_{\triangle ACD}+S_{\triangle ADE}-S_{\triangle AFE}=S_{\triangle ACD}=\frac{1}{2}S_{\triangle ABC}$。
所以折线$A - E - F$将$\triangle ABC$分为面积相等的两部分。
综上，$(1)$$\boldsymbol{D}$为$\boldsymbol{BC}$中点；$(2)$存在，连接$\boldsymbol{AE}$，过$\boldsymbol{BC}$中点$\boldsymbol{D}$作$\boldsymbol{DF// AE}$交$\boldsymbol{BC}$于点$\boldsymbol{F}$，点$\boldsymbol{F}$即为所求 。