《2025年初中必刷题八年级数学上册苏科版》

1 [2025山东菏泽调研,较难]如图,在$\triangle ABC$中,$AB= AC$,点P从点B出发沿线段BA移动,同时,点Q从点C出发沿线段AC的延长线移动,当点P移动至点A时,P,Q两点同时停止移动.已知点P,Q移动的速度相同,PQ与BC相交于点D.
(1)如图(1),试说明:$PD= QD$.
(2)如图(2),过点P作BC的垂线,垂足为E,点P,Q在移动的过程中,线段BE,DE,CD中是否存在长度保持不变的线段?请说明理由.

答案：
1.[解]
(1)过P点作PF//AC交BC于F,如图
(1).
因为点P和点Q同时出发,且移动的速度相同,所以BP=CQ.因为PF//AQ,所以∠PFB=∠ACB,∠DPF=∠DQC.因为AB=AC,所以∠B=∠ACB,所以∠B=∠PFB,所以BP=PF,所以PF=CQ.
因为∠PDF=∠QDC,PF=CQ,∠DPF=∠DQC,
所以△PFD≌△QCD,所以PD=QD.

(2)存在,ED的长度保持不变.理由如下:
过点P作PF//AQ交BC于点F,如图
(2).由
(1)知PB=PF.
因为PE⊥BF,所以BE=EF.
由
(1)知△PFD≌△QCD,所以FD=DC,
所以ED=EF+FD=BE+DC=$\frac{1}{2}$BC,
所以ED的长度保持不变.

2 [2025河南郑州期末,较难]如图,点D在等边三角形ABC的边AB上,点F在边AC上,连接DF并延长交BC的延长线于点E.
(1)如图(1),若$FE= FD$,试说明$AD= CE$.
(2)如图(2),若$FE= FD,AB= 2$,过点D作$DG\perp AC$,垂足为点G,问GF的长是否为定值?若是,请求出这个定值;若不是,请说明理由.

答案：
2.[解]
(1)如图
(1),过点D作DH//BC交AC于点H,所以∠DHF=∠ECF.在△DHF和△ECF中,{∠DHF=∠ECF,∠HFD=∠CFE,DF=EF,所以△DHF≌△ECF,所以DH=CE.
因为△ABC是等边三角形,
所以∠ABC=∠A=60°.
因为DH//BC,所以∠ADH=∠ABC=60°=∠A,所以△ADH是等边三角形,所以AD=DH.因为DH=CE,所以AD=CE.

(2)GF的长是定值.如图
(2),
过点D作DH//BC交AC于点H.
由
(1)知△DHF≌△ECF,
所以FH=FC=$\frac{1}{2}$CH.
由
(1)得△ADH是等边三角形,所以AD=AH,
所以CH=BD,所以FH=$\frac{1}{2}$BD.
因为DG⊥AC,所以AG=HG=$\frac{1}{2}$AH=$\frac{1}{2}$AD,
所以GF=HG+HF=$\frac{1}{2}$AD+$\frac{1}{2}$BD=$\frac{1}{2}$(AD+BD)=$\frac{1}{2}$AB=1,即GF的长是定值,为1.

3 [2025江苏泰州质检,中]如图,在$\triangle ABC$中,$\angle BAC= 2\angle B$,CD平分$\angle ACB$交AB于点D,求证:$AC+AD= BC$.

答案：
3.[证明]如图,在BC上截取CE=AC,连接DE.
∵CD是∠ACB的平分线,
∴∠ACD=∠ECD.在△ACD与△ECD中,{AC=EC,∠ACD=∠ECD,CD=CD,
∴△ACD≌△ECD(SAS),
∴∠CED=∠BAC=2∠B,AD=DE.又
∵∠CED=∠B+∠BDE,
∴∠BDE=∠B,
∴BE=DE=AD,
∴BC=CE+EB=AC+AD.