《2025年初中必刷题八年级数学上册苏科版》

1新考法[2025江苏盐城期末,中]任意实数a,可用[a]表示不超过a的最大整数,如[4]= 4,$[\sqrt{3}]= 1$,现对72进行如下操作:$72\rightarrow[\sqrt{72}]= 8\rightarrow[\sqrt{8}]= 2\rightarrow[\sqrt{2}]= 1$,这样对72只需进行3次操作后变为1.类似地,对900进行了n次操作后变为1,那么n的值为(B)
A.3
B.4
C.5
D.6

答案： B 【解析】900→$\sqrt{900}=30$→$\sqrt{30}=5$→$\sqrt{5}=2$→$\sqrt{2}=1$, 即对 900 进行了 4 次操作后变为 1. 故选B.

如图,数轴上A,B两点表示的数分别为-1和$\sqrt{3}$,点A是CB的中点,则点C所表示的数为(A)
A.$-2-\sqrt{3}$
B.$-1-\sqrt{3}$
C.$-2+\sqrt{3}$
D.$1-2\sqrt{3}$

答案： A 【解析】
∵ 数轴上A,B两点表示的数分别为 - 1 和$\sqrt{3}$,
∴ $AB=\sqrt{3}-(-1)=\sqrt{3}+1$.
∵ 点A是CB的中点,
∴ $AC = AB=\sqrt{3}+1$.
∵ 点C在A的左边,
∴ $-1-(\sqrt{3}+1)=-2-\sqrt{3}$, 则点C所表示的数为$-2-\sqrt{3}$, 故选A.

3[2025浙江杭州期中,中]已知a是$\sqrt{26}-2$的整数部分,b是$\sqrt{26}-2$的小数部分,则$(-a+2)^{3}+(b+5)^{2}$的平方根是(D)
A.3
B.±3
C.5
D.±5

答案： D 【解析】
∵ $5＜\sqrt{26}＜6$,
∴ $3＜\sqrt{26}-2＜4$.
∵ a 是$\sqrt{26}-2$的整数部分, b 是$\sqrt{26}-2$的小数部分,
∴ $a = 3$, $b=\sqrt{26}-2-3=\sqrt{26}-5$,
∴ $(-a + 2)^{3}+(b + 5)^{2}=(-3 + 2)^{3}+(\sqrt{26}-5 + 5)^{2}=-1 + 26=25$,
∴ $(-a + 2)^{3}+(b + 5)^{2}$的平方根为$\pm\sqrt{25}=\pm5$, 故选D.

4[2025江苏无锡期末,中]已知a,b,n均为正整数.若$n - 1 ＜ \sqrt{a} ＜ n$,$n ＜ \sqrt{b} ＜ n + 1$,则满足条件的a的个数总比b的个数少2个.

答案： 2 【解析】
∵ a,b,n 均为正整数, $n - 1＜\sqrt{a}＜n$, $n＜\sqrt{b}＜n + 1$,
∴ $n＞1$, 且$n - 1,n,n + 1$为三个连续的正整数,
∴ $\sqrt{(n - 1)^{2}}＜\sqrt{a}＜\sqrt{n^{2}}$, $\sqrt{n^{2}}＜\sqrt{b}＜\sqrt{(n + 1)^{2}}$.
∵ $1^{2}=1$, $2^{2}=4$, $3^{2}=9$, $4^{2}=16$, …,
∴ $(n - 1)^{2}$与$n^{2}$之间的整数有$(2n - 2)$个, $n^{2}$与$(n + 1)^{2}$之间的整数有 2n 个,
∴ 满足条件的 a 的个数总比 b 的个数少$2n-(2n - 2)=2$个, 故答案为 2.

5[较难]如图,纸上画有一个数轴,点A表示的数为-1,点B表示的数为3,点C表示的数为$\sqrt{3}$.若子轩同学先将纸对折,折痕与数轴的交点为点B,然后再次将纸对折,使点A和点B重合,则此时数轴上与点C重合的点所表示的数是$4+\sqrt{3}$或$6 - \sqrt{3}$或$2 - \sqrt{3}$.

答案： $4+\sqrt{3}$或$6 - \sqrt{3}$或$2 - \sqrt{3}$ 【解析】第一次对折后与A重合的点表示的数是$3+(3 + 1)=7$, 与C重合的点表示的数为$3+(3 - \sqrt{3})=6 - \sqrt{3}$. 第二次对折后, 折痕与数轴的交点表示的数为$\frac{1}{2}×(3 + 7)=5$或$\frac{1}{2}×(-1 + 3)=1$, 此时与数轴上的点C重合的点表示的数为$5+(5 - 6+\sqrt{3})=4+\sqrt{3}$或$1-(\sqrt{3}-1)=2 - \sqrt{3}$. 故答案为$4+\sqrt{3}$或$6 - \sqrt{3}$或$2 - \sqrt{3}$.

6[2025重庆北碚区期中,中]若b为常数,且$4x^{2}-2(b + 2)x + 25$是完全平方式,求$\sqrt{b}$的整数部分.

答案： 【解】$4x^{2}-2(b + 2)+x + 25=(2x)^{2}+x+(21 - 2b)$.
∵ $4x^{2}-2(b + 2)+x + 25$是完全平方式, b 为常数,
∴ $2\cdot2x\cdot\sqrt{21 - 2b}=x$,
∴ $\sqrt{21 - 2b}=\frac{1}{4}$,
∴ $21 - 2b=\frac{1}{16}$,
∴ $b=\frac{335}{32}$.
∵ $9＜\frac{335}{32}＜16$,
∴ $3＜\sqrt{\frac{335}{32}}＜4$, 故$\sqrt{b}$的整数部分是 3.

(1)$\sqrt{17}$的整数部分是4.
(2)如果$\sqrt{5}$的小数部分为a,$\sqrt{13}$的整数部分为b,求$a + b - \sqrt{5}$的值.
1
(3)已知$10+\sqrt{3}= x + y$,其中x是整数且$0 ＜ y ＜ 1$,求$x - y$的相反数.
$\sqrt{3}-12$

答案： 【解】
(1)
∵ $16＜17＜25$,
∴ $4＜\sqrt{17}＜5$,
∴ $\sqrt{17}$的整数部分是 4. 故答案为 4.
(2)
∵ $4＜5＜9$,
∴ $2＜\sqrt{5}＜3$,
∴ $a=\sqrt{5}-2$.
∵ $9＜13＜16$,
∴ $3＜\sqrt{13}＜4$,
∴ $b = 3$,
∴ $a + b - \sqrt{5}=\sqrt{5}-2 + 3 - \sqrt{5}=1$.
(3)
∵ $1＜3＜4$,
∴ $1＜\sqrt{3}＜2$,
∴ $11＜10+\sqrt{3}＜12$.
∵ $10+\sqrt{3}=x + y$, 其中x是整数且$0＜y＜1$,
∴ $x = 11$, $y=10+\sqrt{3}-11=\sqrt{3}-1$,
∴ $x - y=11-(\sqrt{3}-1)=12 - \sqrt{3}$,
∴ $x - y$的相反数是$\sqrt{3}-12$.

其中正确的结论有①③④.

答案： ①③④ 【解析】
∵ $\sqrt{12 + 4}=4$, $\sqrt{12+\sqrt{12 + 4}}=4$, $\sqrt{12+\sqrt{12+\sqrt{12 + 4}}}=4$, …,
∴ (4,12)是完美方根数对, 故①正确;
∵ $\sqrt{91 + 9}=10\neq9$,
∴ (9,91)不是完美方根数对, 故②错误; 若(a,380)是完美方根数对, 则$\sqrt{380 + a}=a$,
∴ $a^{2}=380 + a$, 即$a^{2}-a = 380$, 故③正确; 若(x,y)是完美方根数对, 则$\sqrt{y + x}=x$,
∴ $y + x=x^{2}$, 即$y=x^{2}-x$, 故④正确. 故答案为①③④.