《2025年初中必刷题八年级数学上册苏科版》

11 [2025山东青岛期末]在直角三角形纸片ABC中,∠A= 90°,折叠纸片使得点A落在BC边上点D处,折痕是BE(如图(1)).将纸片复原,再次折叠纸片,使得点B落在边AC上的点E处,折痕是MN(如图(2)).若AB= 6,AC= 8,则CN的长为____$\frac{25}{4}$.

答案： $\frac{25}{4}$【解析】
∵AB = 6，AC = 8，∠A = 90°，
∴$BC = \sqrt{AB² + AC²}$ = 10.如题图
(1)，
∵折叠纸片使得点A落在BC边上点D处，折痕是BE，
∴AB = BD = 6，AE = DE，∠BDE = ∠A = 90°，∠ABE = ∠CBE，
∴∠CDE = 90°，CD = BC - BD = 4，
∴DE² + CD² = CE²，
∴AE² + 4² = (8 - AE)²，
∴AE = 3.如题图
(2)，
∵折叠纸片，使得点B落在边AC上的点E处，折痕是MN，
∴BN = EN，
∴∠NBE = ∠NEB.
∵∠ABE = ∠CBE，
∴∠ABE = ∠NEB，
∴EN//AB，
∴∠CEN = ∠A = 90°，
∴CN² = NE² + CE²，
∴CN² = (10 - CN)² + (8 - 3)²，
∴$CN = \frac{25}{4}$，故答案为$\frac{25}{4}$.

 
12 [2025江苏宿迁质检]如图,△ABC是等边三角形,AB= 2cm,求高AD的长和△ABC的面积.

答案： 【解】
∵△ABC是等边三角形，AD是△ABC的高，AB = 2cm，
∴BC = AB = 2cm，
∴$BD = \frac{1}{2}BC = 1$cm，
∴$AD = \sqrt{AB² - BD²} = \sqrt{3}$cm，
∴△ABC的面积 = $\frac{1}{2}BC·AD = \frac{1}{2}×2×\sqrt{3} = \sqrt{3}$(cm²).

13 如图,在△ABC中,AB= AC.
(1)若P为BC的中点,求证：$AB^2 - AP^2 = BP·CP.$
(2)若P为BC上的任意一点,(1)中的结论是否还成立？请说明理由.
(3)若P为BC延长线上一点,说明AB,AP,BP,CP之间的数量关系.

答案：

(1)【证明】如图
(1)所示，连接AP.
∵AB = AC，P是BC中点，
∴AP⊥BC，BP = CP.在Rt△ABP中，AB² = BP² + AP²，
∴AB² - AP² = BP².又
∵BP = CP，
∴BP·CP = BP²，
∴AB² - AP² = BP·CP.

【解】
(2)成立.理由：如图
(2)所示，连接AP，作AD⊥BC交BC于D.
∵AB = AC，AD⊥BC，
∴BD = CD.在Rt△ABD中，AB² = AD² + BD².同理，AP² = AD² + DP²，
∴AB² - AP² = AD² + BD² - (AD² + DP²) = BD² - DP².又
∵BP = BD + DP，CP = CD - DP = BD - DP，
∴BP·CP = (BD + DP)(BD - DP) = BD² - DP²，
∴AB² - AP² = BP·CP.

(3)AP² - AB² = BP·CP.如图
(3)，P是BC延长线上任意一点，连接AP，并作AD⊥BC交BC于D.
∵AB = AC，AD⊥BC，
∴BD = CD.在Rt△ABD中，AB² = AD² + BD²，在Rt△ADP中，AP² = AD² + DP²，
∴AP² - AB² = (AD² + PD²) - (AD² + DB²) = PD² - BD²，又
∵BP = BD + DP，CP = DP - CD = DP - BD，
∴BP·CP = (BD + DP)(DP - BD) = DP² - BD²，
∴AP² - AB² = BP·CP.

14 [2025广东佛山期中]综合运用：
“在△ABC中,AB,BC,AC三边的长分别为$\sqrt{5}$,$\sqrt{10}$,$\sqrt{13}$,求这个三角形的面积.”小明同学在解答这道题时,先建立一个正方形网格(每个小正方形的边长为1),再在网格中画出格点△ABC(即△ABC三个顶点都在小正方形的顶点处),如图(1)所示,这样不需求△ABC的高,而借用网格就能计算出它的面积.我们把上述求△ABC面积的方法叫作构图法.



(1)直接运用：
①请直接写出图(1)中△ABC的面积：____.
②请在图(2)中画出一个面积为10且顶点都在格点上的等腰直角三角形.
(2)变式应用：若△MNP的边长分别为MN = $\sqrt{m^2 + 16n^2}$,PN = $\sqrt{9m^2 + 4n^2}$,PM = $\sqrt{4m^2 + 4n^2}$(n ＞ m ＞ 0,且m ≠ n),试运用构图法在图(3)中(已标注m,n的长度)画出相应的△MNP,并用m,n表示△MNP的面积.
(3)拓展应用：求代数式$\sqrt{x^2 + 1} + \sqrt{(4 - x)^2 + 4}$(0 ≤ x ≤ 4)的最小值.

答案：
【解】
(1)①由网格可得S△ABC = 3×3 - $\frac{1}{2}$×1×3 - $\frac{1}{2}$×1×2 - $\frac{1}{2}$×2×3 = $\frac{7}{2}$，故答案为$\frac{7}{2}$.
②如图
(1)，△DEF即为所求.

(2)如图
(2)，△MNP即为所求.

△MNP的面积 = 3m×4n - $\frac{1}{2}$×m×4n - $\frac{1}{2}$×2m×2n - $\frac{1}{2}$×3m×2n = 12mn - 2mn - 2mn - 3mn = 5mn.
(3)构造图形如图
(3)，其中四边形CDBE为长方形，点P为CD上一点，点A在射线EC上，AC = 1，DB = 2，CD = 4，CP = x，PD = 4 - x，
∴$AP + BP = \sqrt{x² + 1} + \sqrt{(4 - x)² + 4}$(0 ≤ x ≤ 4)，连接AB，交CD于点F，则AP + BP的最小值为AB的长.
∵AE = AC + CE = 1 + 2 = 3，BE = CD = 4，
∴由勾股定理，得AB = $\sqrt{AE² + BE²} = \sqrt{3² + 4²} = 5$，
∴代数式$\sqrt{x² + 1} + \sqrt{(4 - x)² + 4}$(0 ≤ x ≤ 4)的最小值是5.