《2025年初中必刷题八年级数学上册苏科版》

1[中]如图,点A,D,B,E在一条直线上,$AC// DF$,$BC// EF$,$AC= DF$,求证：$AD= BE$。

答案： 【证明】因为AC//DF，BC//EF，所以∠A=∠EDF，∠ABC=∠E.又因为AC=DF，所以△ABC≌△DEF(AAS)，所以AB=DE，所以AB - BD=DE - BD，所以AD=BE.

2[中]如图(1)是小军制作的燕子风筝,燕子风筝的骨架图如图(2)所示,$AB= AE$,$AC= AD$,$∠BAD= ∠EAC$,$∠C= 50^{\circ }$,求$∠D$的大小。

答案： 【解】因为∠BAD=∠EAC，所以∠BAD+∠CAD=∠EAC+∠CAD，即∠BAC=∠EAD.在△BAC与△EAD中，{AB=AE，∠BAC=∠EAD，AC=AD}，所以△BAC≌△EAD(SAS)，所以∠D=∠C=50°.

3[2024江苏淮安调研,中]如图,已知$AD= AB$,$AC= AE$,$∠DAB= ∠CAE$,连接DC,BE。
(1)求证：$\triangle BAE\cong \triangle DAC$。
(2)若$∠CAD= 125^{\circ }$,$∠D= 20^{\circ }$,求$∠E$的度数。

答案：
(1)【证明】因为∠DAB=∠CAE，所以∠DAB+∠BAC=∠CAE+∠BAC，所以∠DAC=∠BAE.又因为AD=AB，AC=AE，所以△BAE≌△DAC(SAS).
(2)【解】因为△BAE≌△DAC，所以∠E=∠C.因为∠CAD=125°，∠D=20°，所以∠C=180°-(∠CAD + ∠D)=180°-(125° + 20°)=35°，所以∠E=∠C=35°.

4[中]在平面内,正方形ABCD与正方形CEFH如图放置,连接DE,BH,两线段交于点M。
求证：
(1)$BH= DE$。
(2)$BH⊥DE$。

答案： 【证明】
(1)在正方形ABCD与正方形CEFH中，BC=DC，CH=CE，∠BCD=∠ECH=90°，所以∠BCD+∠DCH=∠ECH+∠DCH，即∠BCH=∠DCE.在△BCH和△DCE中，{BC=DC，∠BCH=∠DCE，CH=CE}，所以△BCH≌△DCE(SAS)，所以BH=DE.
(2)设BH与CD相交于点O.因为△BCH≌△DCE，所以∠CBH=∠CDE.又因为∠BOC=∠DOM，所以∠DMB=∠BCD=90°，所以BH⊥DE.

5[较难]如图,四边形ABCD中,$∠ABC= ∠BCD= 90^{\circ }$,点E在BC边上,$∠AED= 90^{\circ }$。
(1)求证：$∠BAE= ∠CED$。
(2)若$AB+CD= DE$,求证：$AE+BE= CE$。
(3)在(2)的条件下,若$\triangle CDE与\triangle ABE$的面积的差为18,$CD= 6$,求BE的长。

答案：
(1)【证明】
∵∠AED=90°，
∴∠AEB+∠CED=180° - 90°=90°，∠BAE+∠AEB=90°，
∴∠BAE=∠CED.
(2)【证明】在ED上取一点F使EF=AB，过点F作FG⊥DE交BC于点G，连接DG，如图所示.
∵∠AEB+∠GEF=90°，∠BAE+∠AEB=90°，
∴∠BAE=∠FEG.在△ABE和△EFG中，{∠BAE=∠FEG，AB=EF，∠ABE=∠EFG=90°}，
∴△ABE≌△EFG(ASA)，
∴AE=EG，BE=FG.
∵AB+CD=DE，EF+DF=DE，
∴DF=CD.在Rt△DFG和Rt△DCG中，{DG=DG，DF=CD}，
∴Rt△DFG≌Rt△DCG(HL)，
∴FG=CG，
∴BE=CG，
∴AE+BE=EG+CG=CE.
(3)【解】由
(2)可知△ABE≌△EFG，Rt△DFG≌Rt△DCG，
∴S△ABE=S△EFG，S△DFG=S△DCG，
∴S△CDE - S△ABE=2S△DCG=18，
∴S△DCG=9，
∴$\frac{1}{2}$CG·CD=9，即$\frac{1}{2}$×CG×6=9，
∴CG=BE=3.