《2025年初中必刷题八年级数学上册苏科版》

如图,在△ABC中,∠C= 90°,AC= 12,BC= 6,P,Q两点分别在AC和过点A且垂直于AC的射线AX上运动,PQ= AB,当△PAQ与△ABC全等时,AP的长度为 (B)
A.6
B.6或12
C.8
D.8或12

答案： B [解析]
∵∠C = 90°，AX⊥AC，
∴∠C = ∠QAP = 90°。①当AP = BC = 6时，在Rt△ACB和Rt△QAP中，{AB = QP，BC = AP}，
∴Rt△ACB≌Rt△QAP(HL)。②当AP = AC = 12时，在Rt△ACB和Rt△PAQ中，{AB = QP，AC = AP}，
∴Rt△ACB≌Rt△PAQ(HL)。综上所述，当△PAQ与△ABC全等时，AP的长度为6或12。故选B。

如图所示,在△ABC中,∠ABC= 90°,延长AB至点E,使AE= AC,过E作EF⊥AC于点F,EF交BC于点G,连接AG,若∠C= 40°,则∠EAG的度数是 (A)
A.25°
B.20°
C.30°
D.35°

答案： A [解析]
∵∠ABC = 90°，EF⊥AC，
∴∠ABC = ∠AFE = 90°。在△AEF与△ACB中，{∠EAF = ∠CAB，∠AFE = ∠ABC，AE = AC}，
∴△AEF≌△ACB(AAS)，
∴AF = AB。
∵∠ABC = 90°，∠C = 40°，
∴∠BAC = 50°。在Rt△ABG和Rt△AFG中，{AG = AG，AB = AF}，
∴Rt△ABG≌Rt△AFG(HL)，
∴∠EAG = ∠FAG = $\frac{1}{2}$×50° = 25°。故选A。

3[2024江苏无锡梁溪区质检,较难]如图,在△ABC中,∠APE= 160°,AP= PE,BP平分∠ABC,则∠ABP= ______°.

答案：
10 [解析]如图，过P作PM⊥BC于M，PN⊥AB于N，
∴∠PME = ∠PNA = ∠PNB = 90°。
∵BP平分∠ABC，
∴∠PBN = ∠PBM。在△PNB与△PMB中，{∠PNB = ∠PMB，∠PBN = ∠PBM，PB = PB}，
∴△PNB≌△PMB(AAS)，
∴PN = PM。在Rt△APN与Rt△EPM中，{PA = PE，PN = PM}，
∴Rt△APN≌Rt△EPM(HL)，
∴∠APN = ∠EPM，
∴∠NPM = ∠APE = 160°，
∴∠ABC = 360° - ∠NPM - ∠PNB - ∠PMB = 20°，
∴∠ABP = $\frac{1}{2}$∠ABC = 10°。故答案为10。

4[中]如图,四边形ABCD中,AC为∠BAD的平分线,过点C作CF⊥AD,已知CB= CD.
(1)判断∠ABC与∠ADC之间的数量关系.
(2)若CF= 6,AB= 4,S△ACD= 21,求DF的长.

答案：

(1)[解]如图，过点C作CH⊥AB，交AB的延长线于H。
∵AC平分∠BAD，
∴∠BAC = ∠CAD。在△ACH和△ACF中，{∠BAC = ∠CAD，∠H = ∠AFC = 90°，AC = AC}，
∴△ACH≌△ACF(AAS)，
∴CH = CF，AH = AF。在Rt△BCH和Rt△DCF中，{CB = CD，CH = CF}，
∴Rt△BCH≌Rt△DCF(HL)，
∴∠ADC = ∠CBH。
∵∠CBH + ∠ABC = 180°，
∴∠ADC + ∠ABC = 180°。

(2)
∵Rt△BCH≌Rt△DCF，
∴BH = DF。
∵S△ACD = 21 = $\frac{1}{2}$×AD×CF，CF = 6，
∴42 = 6AD，
∴AD = 7。
∵AD + AB = AF + FD + AH - BH = 2AF = 7 + 4 = 11，
∴AF = 5.5，
∴DF = AD - AF = 1.5。

5思想方法转化思想[2025福建莆田调研,较难]我们学习了三角形全等的判定方法(即“SSS”“SAS”“ASA”和“AAS”)和直角三角形全等的特殊判定方法(即“HL”),事实上,在一定条件下,“SSA”是能够用来论证三角形全等的.下面我们对“两个三角形满足两边和其中一边的对角对应相等”的情形进行探究.
在△ABC和△DEF中,AC= DF,BC= EF,∠B= ∠E,对∠B进行分类,可分为∠B是直角、钝角、锐角三种情况进行探究.
第一种情况：当∠B是直角时,△ABC≌△DEF.
(1)如图(1),根据______,可以得到Rt△ABC≌Rt△DEF.
第二种情况：当∠B是钝角时,△ABC≌△DEF.
(2)如图(2),求证：△ABC≌△DEF.
第三种情况：当∠B是锐角时,△ABC和△DEF不一定全等.
(3)请在图(3)中作△DEF,使得△ABC和△DEF不全等.(尺规作图,不写作法,保留作图痕迹)
(4)当∠B为______时,△ABC≌△DEF.

答案：

(1)[解]当∠B是直角时，∠B = ∠E = 90°。在Rt△ABC和Rt△DEF中，{AC = DF，BC = EF}，
∴Rt△ABC≌Rt△DEF(HL)。故答案为HL。
(2)[证明]过点C作CG⊥AB交AB的延长线于G，过点F作FH⊥DE交DE的延长线于H，如图
(1)，
∴∠G = ∠H = 90°。
∵∠ABC = ∠DEF，且∠ABC，∠DEF都是钝角，
∴∠CBG = 180° - ∠ABC，∠FEH = 180° - ∠DEF，
∴∠CBG = ∠FEH。在△CBG和△FEH中，{∠G = ∠H，∠CBG = ∠FEH，BC = EF}，
∴△CBG≌△FEH(AAS)，
∴CG = FH。在Rt△ACG和Rt△DFH中，{AC = DF，CG = FH}，
∴Rt△ACG≌Rt△DFH(HL)，
∴∠A = ∠D。在△ABC和△DEF中，{∠A = ∠D，∠ABC = ∠DEF，AC = DF}，
∴△ABC≌△DEF(AAS)。

(3)如图
(2)。
(4)由上可知，当∠B为钝角或直角时，△ABC≌△DEF。故答案为钝角或直角。