《2025年初中必刷题八年级数学上册苏科版》

如图,动点P在平面直角坐标系中按图中箭头所示方向运动,第1次从原点运动到点$(-1,1)$,第2次接着运动到点$(-2,0)$,第3次接着运动到点$(-3,2),... $,按这样的运动规律,经过第2023次运动后,动点P的坐标是(C)
A.$(-2023,0)$
B.$(-2023,1)$
C.$(-2023,2)$
D.$(2023,0)$

答案： C 【解析】点P的横坐标为运动次数的相反数,纵坐标每4次一循环,依次是1,0,2,0.因为2023=505×4……3,所以经过第2023次运动后,动点P的横坐标为-2023,纵坐标为2,即P(-2023,2),故选C.

如图所示,在平面直角坐标系中,半径均为1个单位长度的半圆$O_{1}$,半圆$O_{2}$,半圆$O_{3}$,…组成一条平滑的曲线,点P从原点O出发,沿这条曲线向右运动,速度为每秒$\frac {π}{2}$个单位长度,则第2021秒时,点P的坐标是(C)
A.$(2020,0)$
B.$(2021,-1)$
C.$(2021,1)$
D.$(2022,0)$

答案： C 【解析】半径为1个单位长度的半圆的周长为$\frac{1}{2}×2\pi×1=\pi$.因为点P从原点O出发,沿这条曲线向右运动,速度为每秒$\frac{\pi}{2}$个单位长度,所以点P每秒走$\frac{1}{2}$个半圆.当点P运动时间为1秒时,点P的坐标为(1,1),当点P运动时间为2秒时,点P的坐标为(2,0),当点P运动时间为3秒时,点P的坐标为(3,-1),当点P运动时间为4秒时,点P的坐标为(4,0),当点P运动时间为5秒时,点P的坐标为(5,1),当点P运动时间为6秒时,点P的坐标为(6,0),…因为2021÷4=505……1,所以点P的坐标是(2021,1),故选C.

在平面直角坐标系中,对于点$P(x,y)$,我们把点$P'(-y+1,x+1)$叫作点P的伴随点.已知点$A_{1}的伴随点为A_{2}$,点$A_{2}的伴随点为A_{3}$,点$A_{3}的伴随点为A_{4}$,…,这样依次得到点$A_{2},A_{3},...,A_{n}$.若点$A_{1}的坐标为(2,4)$,则点$A_{2022}$的坐标为(C)
A.$(3,-1)$
B.$(-2,-2)$
C.$(-3,3)$
D.$(2,4)$

答案： C 【解析】因为$A_1$的坐标为(2,4),所以$A_2(-3,3)$,$A_3(-2,-2)$,$A_4(3,-1)$,$A_5(2,4)$,…,依次类推,每4个点为一个循环组依次循环.易错警示 两点关于y轴对称,两点的横坐标互为相反数,纵坐标相等,易与两点关于x轴对称混淆而出错.
关键点拨 通过观察可知右下标(除$A_1$外)是数字4的倍数的点在第三象限,4的倍数余1的点在第四象限,4的倍数余2的点在第一象限,4的倍数余3的点在第二象限.
思路分析 根据“伴随点”的定义依次求出各点的坐标,发现每4个点为一个循环组依次循环,用2022除以4,根据商和余数的情况确定点$A_{2022}$的坐标即可.因为2022÷4=505……2,所以点$A_{2022}$的坐标与$A_2$的坐标相同,为(-3,3).故选C.

如图,一机器人从原点出发按图示方向做折线运动,第1次从原点运动到$A_{1}(1,0)$,第2次运动到$A_{2}(1,1)$,第3次运动到$A_{3}(-1,1)$,第4次运动到$A_{4}(-1,-1)$,第5次运动到$A_{5}(2,-1),... $,则第15次运动到的点$A_{15}$的坐标是(B)
A.$(4,4)$
B.$(-4,4)$
C.$(-4,3)$
D.$(5,-4)$

答案： B 【解析】每一象限的点的特点:
第一象限 $A_2(1,1)$,$2=4×0+2$;$A_6(2,2)$,$6=4×1+2$;$A_{10}(3,3)$,$10=4×2+2$;…;$A_{4n+2}(n+1,n+1)$
第二象限 $A_3(-1,1)$,$3=4×0+3$;$A_7(-2,2)$,$7=4×1+3$;…;$A_{4n+3}(-n-1,n+1)$
第三象限 $A_4(-1,-1)$,$4=4×1$;$A_8(-2,-2)$,$8=4×2$;…;$A_{4n}(-n,-n)$
第四象限 $A_5(2,-1)$,$5=4×1+1$;$A_9(3,-2)$,$9=4×2+1$;…;$A_{4n+1}(n+1,-n)$
15=4×3+3,则$A_{15}$在第二象限,根据规律可得点$A_{15}$的坐标是(-4,4).

如图,在平面直角坐标系中,有若干个整数点,其顺序按图中箭头方向排列,即$(0,1),(0,2),(1,2),(1,3),(0,3),(-1,3),... $,根据这个规律,探索可得第100个点的坐标为(A)
A.$(2,14)$
B.$(-2,13)$
C.$(3,14)$
D.$(-3,13)$

答案： A 【解析】
第一步 (0,1),纵坐标是1的点共1个;(0,2),(1,2),纵坐标是2的点共2个;(1,3),(0,3),(-1,3),纵坐标是3的点共3个;…,依次类推,纵坐标是n的点共有n个.从第2个点开始,纵坐标是奇数的从右到左计数,最左边点的横坐标为$-\frac{(n-1)}{2}$;纵坐标是偶数的从左到右计数,最右边点的横坐标为$\frac{n}{2}$.
第二步 纵坐标是1到纵坐标是n的点共有1+2+3+…+$n=\frac{n(n+1)}{2}$个.
第三步 当n=13时,$\frac{13×(13+1)}{2}=91$,当n=14时,$\frac{14×(14+1)}{2}=105$,所以n=14.
第四步 由上可知第100个点的纵坐标为14,根据n=14这一行的规律:共有14个点,从左到右计数,最右边点的横坐标为$\frac{n}{2}$,所以14÷2=7,所以第105个点的坐标为(7,14),第104个点的坐标为(6,14),第103个点的坐标为(5,14),第102个点的坐标为(4,14),第101个点的坐标为(3,14),第100个点的坐标为(2,14),故选A.

6 [2025江苏南通期中,中]如图,在平面直角坐标系中,一动点从原点O出发,按向上、向右、向下、向右的方向依次平移,每次平移一个单位,得到点$A_{1}(0,1),A_{2}(1,1),A_{3}(1,0),A_{4}(2,0),... $,那么点$A_{21}$的坐标为____(10,1).

答案： (10,1) 【解析】由题图可得,点$A_{4n+1}(2n,1)$(n为自然数),21=4×5+1,则$A_{21}$的坐标是(10,1).故答案为(10,1).