《2025年初中必刷题八年级数学上册苏科版》

在$\triangle ABC$中,$AD为BC$边上的中线,若$\triangle ABD与\triangle ADC$的周长差为5,$AC= 8$,则$AB$的长为 (C)
A.2
B.13
C.3或13
D.2或12

答案： C 【解析】①当△ABD 的周长大于△ADC 的周长时，
∵AD 为 BC 边上的中线，
∴BD=CD，
∴△ABD 与△ADC 的周长差=(AB+AD+BD)-(AC+AD+CD)=AB-AC.
∵△ABD 与△ADC 的周长差为 5，AC=8，
∴AB-8=5，解得 AB=13.②当△ADC 的周长大于△ABD 的周长时，
∵AD 为 BC 边上的中线，
∴BD=CD，
∴△ADC 与△ABD 的周长差=(AC+AD+CD)-(AB+AD+BD)=AC-AB.
∵△ABD 与△ADC 的周长差为 5，AC=8，
∴8-AB=5，解得 AB=3.综上，AB=3 或 13，故选 C.

在等腰三角形$ABC$中,$AB= AC$,若中线$BD$将该三角形的周长分为5和3两个部分,则该等腰三角形的底边长为 (A)
A.$\frac{4}{3}$
B.4
C.$\frac{4}{3}$或4
D.$\frac{5}{3}$或4

答案： A 【解析】设腰长 AB=AC=x，底边长 BC=y.
∵BD 是中线，
∴AD=CD=$\frac{1}{2}$AC=$\frac{1}{2}$x.
∵中线 BD 将该三角形的周长分为 5 和 3 两个部分，
∴$\begin{cases} AB+AD=5, \\ BC+CD=3 \end{cases}$或$\begin{cases} AB+AD=3, \\ BC+CD=5, \end{cases}$
∴$\begin{cases} x+\frac{1}{2}x=5, \\ y+\frac{1}{2}x=3 \end{cases}$或$\begin{cases} x+\frac{1}{2}x=3, \\ y+\frac{1}{2}x=5 \end{cases}$解得$\begin{cases} x=\frac{10}{3}, \\ y=\frac{4}{3} \end{cases}$或$\begin{cases} x=2, \\ y=4. \end{cases}$当等腰三角形 ABC 腰长为$\frac{10}{3}$，底边长为$\frac{4}{3}$时，$\frac{10}{3}+\frac{4}{3}＞\frac{10}{3}$，可以组成三角形；当等腰三角形 ABC 腰长为 2，底边长为 4 时，2+2=4，不可以组成三角形，
∴该等腰三角形的底边长为$\frac{4}{3}$，故选 A.

如图,$D,E,F分别是边BC$,$AD$,$AC$上的中点,若阴影部分的面积为6,则$\triangle ABC$的面积是 (D)
A.12
B.14
C.15
D.16

答案： D 【解析】
∵D，E，F 分别是边 BC，AD，AC 上的中点，
∴$S_{\triangle ABD}=S_{\triangle ADC}=\frac{1}{2}S_{\triangle ABC}$，$S_{\triangle BDE}=\frac{1}{2}S_{\triangle ABD}$，$S_{\triangle ADF}=\frac{1}{2}S_{\triangle ADC}$，$S_{\triangle DEF}=\frac{1}{2}S_{\triangle ADF}$，
∴$S_{\triangle BDE}=\frac{1}{4}S_{\triangle ABC}$，$S_{\triangle DEF}=\frac{1}{8}S_{\triangle ABC}$，
∴$S_{阴影部分}=S_{\triangle BDE}+S_{\triangle DEF}=\frac{1}{4}S_{\triangle ABC}+\frac{1}{8}S_{\triangle ABC}=\frac{3}{8}S_{\triangle ABC}$，
∴$S_{\triangle ABC}=\frac{8}{3}S_{阴影部分}=\frac{8}{3}×6=16$，故选 D.

4 [2025辽宁鞍山质检,中]如图,已知$\triangle ABC$的面积为1,分别倍长(延长一倍)边$AB$,$BC$,$CA得到\triangle A_1B_1C_1$,再分别倍长边$A_1B_1$,$B_1C_1$,$C_1A_1得到\triangle A_2B_2C_2$,…,按此规律,倍长2024次后得到的$\triangle A_{2024}B_{2024}C_{2024}$的面积为 ( )


A.$7^{2024}$
B.$5^{2024}$
C.$6^{2023}$
D.$4^{2023}$

答案：
A 【解析】如图，连接 AB₁，BC₁，CA₁，根据等底同高的三角形面积相等，可得△A₁BC，△A₁B₁C，△AB₁C，△AB₁C₁，△ABC₁，△A₁BC₁，△ABC 的面积都相等，
∴$S_{\triangle A₁B₁C₁}=7S_{\triangle ABC}$，同理可得$S_{\triangle A₂B₂C₂}=7S_{\triangle A₁B₁C₁}=7²S_{\triangle ABC}$，…，则$S_{\triangle A_{2024}B_{2024}C_{2024}}=7^{2024}S_{\triangle ABC}$.
∵$S_{\triangle ABC}=1$，
∴△A₂₀₂₄B₂₀₂₄C₂₀₂₄的面积为$7^{2024}$. 故选 A.

5 [2025江西景德镇质检,中]如图,$\triangle ABC的三条中线AD$,$BE$,$CF交于点G$.若$AG:GD= 2:1$,$S_{\triangle ABC}= 12$,则图中阴影部分的面积为4.

答案： 4 【解析】
∵AD 是△ABC 的中线，
∴$S_{\triangle ABD}=S_{\triangle ACD}=\frac{1}{2}S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}×12=6$.
∵AG:GD=2:1，
∴$S_{\triangle ABG}=\frac{2}{3}S_{\triangle ABD}=\frac{2}{3}×6=4$，$S_{\triangle AGC}=\frac{2}{3}S_{\triangle ACD}=\frac{2}{3}×6=4$.又
∵BE，CF 是△ABC 的中线，
∴点 E，F 分别是 AC，AB 的中点，
∴$S_{\triangle GFB}=\frac{1}{2}S_{\triangle ABG}=\frac{1}{2}×4=2$，$S_{\triangle GCE}=\frac{1}{2}S_{\triangle AGC}=\frac{1}{2}×4=2$，
∴$S_{阴影}=S_{\triangle GFB}+S_{\triangle GCE}=2+2=4$. 故答案为 4.

(1)如图(1),$\triangle ABC$中,$\angle ACB= 90^{\circ}$,$CD是AB$边上的高,则$S_{\triangle ABC}= \frac{1}{2}AC\cdot BC= $$\frac{1}{2}AB\cdot CD$.
(2)在(1)的条件下,若$AC= 3$,$BC= 4$,$AB= 5$,用等积法求$CD$的长.
【解】由(1)可得$S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}AC\cdot BC=\frac{1}{2}AB\cdot CD$，则$\frac{1}{2}×3×4=\frac{1}{2}×5× CD$，解得$CD=\frac{12}{5}$.
(3)如图(2),在等腰三角形$ABC$中,$AB= AC= 13$,$BC= 10$,过$A作AH\perp BC于点H$,且$AH= 12$,$P为底边BC$上的任意一点,过点$P作PM\perp AB$,$PN\perp AC$,垂足分别为$M$,$N$,连接$AP$,利用$S_{\triangle ABC}= S_{\triangle ABP}+S_{\triangle ACP}$,求$PM+PN$的值.
【解】∵AH⊥BC，PM⊥AB，PN⊥AC，$S_{\triangle ABC}=S_{\triangle ABP}+S_{\triangle ACP}$，∴$\frac{1}{2}BC\cdot AH=\frac{1}{2}AB\cdot PM+\frac{1}{2}AC\cdot PN$，∴$\frac{1}{2}×10×12=\frac{1}{2}×13PM+\frac{1}{2}×13PN=\frac{1}{2}×13(PM+PN)$，∴$PM+PN=\frac{120}{13}$.

答案： 【解】
(1)$S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}AC\cdot BC=\frac{1}{2}AB\cdot CD$. 故答案为$\frac{1}{2}AB\cdot CD$.
(2)由
(1)可得$S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}AC\cdot BC=\frac{1}{2}AB\cdot CD$，则$\frac{1}{2}×3×4=\frac{1}{2}×5× CD$，解得$CD=\frac{12}{5}$.
(3)
∵AH⊥BC，PM⊥AB，PN⊥AC，$S_{\triangle ABC}=S_{\triangle ABP}+S_{\triangle ACP}$，
∴$\frac{1}{2}BC\cdot AH=\frac{1}{2}AB\cdot PM+\frac{1}{2}AC\cdot PN$，
∴$\frac{1}{2}×10×12=\frac{1}{2}×13PM+\frac{1}{2}×13PN=\frac{1}{2}×13(PM+PN)$，
∴$PM+PN=\frac{120}{13}$.

7 [2025吉林松原质检,中]已知$\triangle ABC$的面积为24,$AD是BC$边上的高(点$D不与点B$重合),若$AD= 4$,$CD= 5$,则$BD$的长为 ( )

A.1
B.1或11
C.7
D.7或17

答案：
D 【解析】当 AD 在△ABC 内部时，如图
(1).
∵△ABC 的面积为 24，AD 是 BC 边上的高，AD=4，CD=5，
∴$\frac{1}{2}BC\cdot AD=\frac{1}{2}(BD+CD)\cdot AD=\frac{1}{2}(BD+5)×4=24$，
∴BD=7.
当 AD 在△ABC 外部时，如图
(2).
∵△ABC 的面积为 24，AD 是 BC 边上的高，AD=4，CD=5，
∴$\frac{1}{2}BC\cdot AD=\frac{1}{2}BC×4=24$，
∴BC=12，
∴BD=BC+CD=12+5=17. 综上所述，BD 的长为 7 或 17，故选 D.