《2025年初中必刷题八年级数学上册苏科版》

1 已知$\triangle ABC中的三边长为a$,$b$,$c$,下列条件中,不能判定$\triangle ABC$是等腰三角形的是 (B)
A.$a = 3$,$b = 3$,$c = 4$
B.$a:b:c = 2:3:4$
C.$∠B = 50^{\circ}$,$∠C = 80^{\circ}$
D.$∠A:∠B:∠C = 1:1:2$

答案： B　[解析]A选项，
∵a=3,b=3,c=4,
∴a=b,
∴△ABC是等腰三角形;B选项，
∵a:b:c = 2:3:4,
∴a≠b≠c,
∴△ABC不是等腰三角形;C选项,
∵∠B=50°,∠C=80°,
∴∠A=180°−∠B−∠C=50°,
∴∠A=∠B,
∴AC=BC,
∴△ABC是等腰三角形;D选项，
∵∠A:∠B:∠C=1:1:2,
∴∠A=∠B,
∴AC=BC,
∴△ABC是等腰三角形.故选B.

在$Rt\triangle ABC$中,$∠C = 90^{\circ}$,$∠B = 30^{\circ}$,要求用圆规和无刻度的直尺作图,把它分成两个三角形,其中一个三角形是等腰三角形. 其中作法错误的是 (B)

答案： B　[解析]A选项，由作法知AD=AC，
∴△ACD是等腰三角形，故不符合题意;B选项，由作法知直线MN是线段BC的垂直平分线，不能推出△ACD或△ABD是等腰三角形，故符合题意;C选项，由作法知，直线MN是线段AB的垂直平分线，
∴DA=DB,
∴△ABD是等腰三角形，故不符合题意;D选项，
∵∠C=90°,∠B=30°,
∴∠BAC=60°，由作法知AD 是∠BAC的平分线，
∴∠BAD=30°=∠B,
∴DB=DA,
∴△ABD是等腰三角形，故不符合题意.故选B.

3 [2025 浙江绍兴期末]根据下列三角形提供的角度,不能用一条直线把一个三角形分成两个等腰三角形的是 ( )

答案：
D　[解析]A选项，如图
(1)，能用一条直线把一个三角形分成两个等腰三角形，不合题意;
　
B选项,如图
(2)，能用一条直线把一个三角形分成两个等腰三角形，不合题意;
　
C选项,如图
(3)，能用一条直线把一个三角形分成两个等腰三角形，不合题意;
　
D选项，不能用一条直线把一个三角形分成两个等腰三角形，符合题意.故选D.
思路分析：根据三角形的定义与判定定理(等角对等边)，即可得出答案。
关键点拔：本题考查等腰三角形的判定，涉及三角形内角和定理的应用，解题的关键是分别画出图形，计算图中角的大小，用等角对等边判定等腰三角形。

4 [2025 江苏南通期中]如图的图形中等腰三角形的个数为5.

答案： 5　[解析]
∵∠OBC=∠OCB=36°,
∴OB=OC,
∴△OBC为等腰三角形.
∵∠AOB=∠DOC=∠OBC+∠OCB=72°,
∴∠AOB=∠A,∠COD=∠D,
∴BA=BO,CD=CO,
∴△AOB,△COD为等腰三角形.
∵∠ABC=∠BCD=180°−72°−36°=72°,
∴∠A=∠ABC,∠D=∠BCD,
∴AC=BC,BD=BC,
∴△ABC,△BCD为等腰三角形.综上，题图中共有5个等腰三角形.故答案为5.

5 [2025 山东青岛期末]如图是一块四边形草地$ABCD$,其中$∠A = 45^{\circ}$,$∠B = ∠D = 90^{\circ}$,$AB = 10m$,$CD = 5m$,则这块草地的面积为______.

答案：
37.5m²　[解析]如图，分别延长AD,BC交于E点.
∵∠A=45°,∠B=∠ADC=90°,
∴∠E=90°−45°=45°=∠A,
∴∠DCE=90°−45°=45°=∠E,AB=BE,
∴CD=DE.
∵AB=10m,CD=5m,
∴BE=10m,DE=5m,
∴S△ABE=$\frac{1}{2}$AB·BE=$\frac{1}{2}$×10×10 = 50(m²),S△CDE=$\frac{1}{2}$CD·DE=$\frac{1}{2}$×5×5 = 12.5(m²)，
∴这块草地的面积为S△ABE−S△CDE=50−12.5 = 37.5(m²).故答案为37.5m².
　

6 [2025 江苏苏州期中]如图,在$\triangle ABC$中,$∠ACB = 90^{\circ}$,$CD是AB$边上的高,$AE是∠BAC$的平分线,$AE与CD交于点F$,求证：$\triangle CEF$是等腰三角形.

答案： [证明]
∵在△ABC中,∠ACB=90°,
∴∠B+∠BAC=90°.
∵CD是边AB上的高，
∴∠ADC=90°,
∴∠ACD+∠BAC=90°,
∴∠B=∠ACD.
∵AE是∠BAC的平分线,
∴∠BAE=∠EAC,
∴∠B+∠BAE=∠ACD+∠EAC,即∠CEF=∠CFE,
∴CE=CF,
∴△CEF是等腰三角形.

7 [2025 江西南昌期中]如图(1),在$\triangle ABC$中,$AD$是它的角平分线.
(1)求证：$S_{\triangle ABD}:S_{\triangle ACD} = AB:AC$.
(2)若添加一个条件$∠C = 2∠B$,如图(2),请猜想线段$AB$,$AC$,$CD$三者之间的数量关系,并完成证明过程.

答案：

(1)[证明]作DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别为E,F，如图
(1).
∵AD平分∠BAC,
∴DE=DF,
∴S△ABD:S△ACD = ($\frac{1}{2}$AB·DE):($\frac{1}{2}$AC·DF)=AB:AC;
　
(2)[解]AB=AC+CD.证明:在AB上截取AE=AC,连接DE，如图
(2).
∵AD平分∠BAC，
∴∠DAE=∠DAC.又
∵AD=AD,
∴△ADE≌△ADC,
∴DE=DC,∠C=∠AED.又
∵∠AED=∠B+∠BDE,且∠C=2∠B,
∴∠B=∠BDE,
∴BE=DC,
∴AB=AE+EB=AC+CD,即AB=AC+CD.
　

8 [2024 江苏南京玄武区期中]在$\triangle ABC$中,$∠ABC = 110^{\circ}$,点$D在边AC$上,若直线$BD将\triangle ABC$分割成一个直角三角形和一个等腰三角形,则$∠CDB$的度数是______.

答案：
40°或90°或140°　[解析]如图
(1)中，当∠CDB = 90°,DA=DB时，满足条件.如图
(2)中,当∠ABD=90°,DB=DC时,可得∠DBC=∠C=20°,
∴∠CDB=180°−20°−20°=140°.
　
　
如图
(3)中,当∠DBC=90°,DA=DB时,∠A=∠DBA=20°,
∴∠CDB=∠A+∠DBA=40°.故答案为40°或90°或140°.