《2025年初中必刷题八年级数学上册苏科版》

【提出问题】唐朝诗人李颀的诗《古从军行》中“白日登山望烽火,黄昏饮马傍交河”里隐含着一个有趣的数学问题——将军饮马.如图(1),将军从山脚下的点A出发,到一条笔直的河边l饮马后再回到点B宿营,他时常想,怎么走才能使他每天走的路程之和最短呢?
【分析问题】
小亮:如图(2),作B关于l的对称点B',连接AB'与l交于点C,点C就是饮马的地方,此时按路线AC-CB走的路程就是最短的.
小慧:你能详细解释原因吗?

小亮:如图(3),在l上另取一点C',连接AC',BC',B'C',只要证明AC+CB＜AC'+C'B即可.请写出小亮的证明过程.
【解决问题】
任务一:如图(4),将军牵马从军营P处出发,先到河边OA饮马,再到草地OB牧马,最后回到P处,试分别在OA和OB上各找一点E,F,使得将军走过的路程最短.(保留画图痕迹,辅助线用虚线,最短路径用实线)
任务二:如图(5)所示,在P,Q两村之间有两条河,且每条河的宽度处处相等,从P村前往Q村,要经过这两条河.现在要在这两条河上分别造一座垂直于河岸的桥EF,MN,则这两座桥EF,MN造在何处可使由P村到Q村的路程最短?(要求在图上标出道路和大桥的位置)

答案：
【分析问题】
∵ 点 B,B'关于 l 对称,
∴ CB=CB',C'B=C'B',
∴ AC+CB=AC+CB'=AB',AC'+C'B=AC'+C'B'.
∵ AB'＜AC'+C'B',
∴ AC+CB＜AC'+C'B',
∴ 作 B 关于 l 的对称点 B',连接 AB'与 l 交于点 C,点 C 就是饮马的地方,此时按路线 AC - CB 走的路程是最短的.
【解决问题】任务一:如图
(1)所示，分别作点 P 关于 OA,OB 的对称点 C,D,连接 CD,分别交 OA,OB 于 E,F,则路线 PE - EF - FP 即为所求.
任务二:如图
(2)所示，分别过点 P 和点 Q 作 l₁,l₃ 的垂线,垂足分别为 A,B,在 PA 上截取 PC 等于靠近 P 村的河的宽,在 BQ 上截取 QD 等于靠近 Q 村的河的宽,连接 CD 分别交 l₂,l₄ 于 E,M,分别过点 E,M 作 l₁,l₃ 的垂线,垂足分别为 F,N,连接 PF,QN,则路线 PF - FE - EM - MN - NQ 即为所求.