《2025年初中必刷题八年级数学上册苏科版》

9 [2024湖南中考]如图,在锐角三角形$ABC$中,$AD是边BC$上的高,在$BA$,$BC上分别截取线段BE$,$BF$,使$BE= BF$；分别以点$E$,$F$为圆心,大于$\frac{1}{2}EF$的长为半径画弧,在$\angle ABC$内,两弧交于点$P$,作射线$BP$,交$AD于点M$,过点$M作MN\perp AB于点N$。若$MN= 2$,$AD= 4MD$,则$AM= $6。

答案： 6 【解析】由作图可知 BP 平分∠ABC.
∵ AD 是边 BC 上的高，MN⊥AB，MN=2，
∴ MD=MN=2.
∵ AD=4MD，
∴ AD=8，
∴ AM=AD - MD=6，故答案为 6.

10 [2024四川南充中考]如图,在$\triangle ABC$中,点$D为BC$边的中点,过点$B作BE// AC交AD的延长线于点E$。
(1)求证：$\triangle BDE\cong\triangle CDA$。
(2)若$AD\perp BC$,求证：$BA= BE$。

答案： 【证明】
(1)
∵ D 为 BC 的中点，
∴ BD=CD.
∵ BE//AC，
∴ ∠E=∠DAC，∠DBE=∠C.在△BDE 和△CDA 中，{∠E=∠DAC，∠DBE=∠C，BD=CD}，
∴ △BDE≌△CDA（AAS）.
(2)
∵ △BDE≌△CDA，
∴ ED=AD.
∵ AD⊥BC，
∴ BD 垂直平分 AE，
∴ BA=BE.

11 [2024甘肃兰州中考]如图,在$\triangle ABC$中,$AB= AC$,$\angle BAC= 130^{\circ}$,$DA\perp AC$,则$\angle ADB= $(B)

A.$100^{\circ}$
B.$115^{\circ}$
C.$130^{\circ}$
D.$145^{\circ}$

答案： B 【解析】
∵ AB=AC，∠BAC=130°，
∴ ∠C=$\frac{180° - ∠BAC}{2}$=25°.
∵ DA⊥AC，
∴ ∠CAD=90°，
∴ ∠ADB=∠C+∠CAD=115°.故选 B.

如图,直线$l// m$,等边三角形$ABC的两个顶点B$,$C分别落在直线l$,$m$上,若$\angle ABE= 21^{\circ}$,则$\angle ACD$的度数是(B)
A.$45^{\circ}$
B.$39^{\circ}$
C.$29^{\circ}$
D.$21^{\circ}$

答案： B 【解析】
∵ l//m，
∴ ∠EBC+∠DCB=180°，即∠EBA+∠ABC+∠ACB+∠ACD=180°.
∵ △ABC 是等边三角形，
∴ ∠ABC=∠ACB=60°.又
∵ ∠ABE=21°，
∴ 21°+60°+60°+∠ACD=180°，
∴ ∠ACD=39°.故选 B.

13 [2024四川内江中考]如图,在$\triangle ABC$中,$\angle DCE= 40^{\circ}$,$AE= AC$,$BC= BD$,则$\angle ACB$的度数为____100°。

答案： 100° 【解析】
∵ ∠DCE=40°，
∴ ∠CDE+∠CED=180° - ∠DCE=140°.
∵ AE=AC，BC=BD，
∴ ∠ACE=∠CED，∠BCD=∠CDE，
∴ ∠ACE+∠BCD=∠CED+∠CDE=140°，
∴ ∠ACB=∠ACE+∠BCE=∠ACE+∠BCD - ∠DCE=140° - 40°=100°.故答案为 100°.

14 [2024陕西中考]如图,已知直线$l和l外一点A$,请用尺规作图法,求作一个等腰直角$\triangle ABC$,使得顶点$B和顶点C都在直线l$上。(作出符合题意的一个等腰直角三角形即可,保留作图痕迹,不写作法)

答案：
【解】等腰直角△ABC 如图所示.（答案不唯一）

15 [2024湖南长沙中考]如图,点$C在线段AD$上,$AB= AD$,$\angle B= \angle D$,$BC= DE$。
(1)求证：$\triangle ABC\cong\triangle ADE$；
(2)若$\angle BAC= 60^{\circ}$,求$\angle ACE$的度数。

答案：
(1)【证明】在△ABC 和△ADE 中，{BC=DE，∠B=∠D，AB=AD}，
∴ △ABC≌△ADE（SAS）.
(2)【解】
∵ △ABC≌△ADE，
∴ AC=AE，∠CAE=∠BAC=60°，
∴ △ACE 是等边三角形，
∴ ∠ACE=60°.

16 [2024广东广州中考改编]如图,在$\triangle ABC$中,$\angle A= 90^{\circ}$,$AB= AC= 6$,$D为边BC$的中点,点$E$,$F分别在边AB$,$AC$上,$AE= CF$,则四边形$AEDF$的面积为____。

答案：
1. 首先，连接$AD$：
因为$\angle A = 90^{\circ}$，$AB = AC = 6$，$D$为$BC$中点，根据等腰直角三角形的性质：
$AD = BD = CD$，$\angle BAD=\angle CAD = 45^{\circ}=\angle C$，$AD\perp BC$。
2. 然后，证明$\triangle ADE\cong\triangle CDF$：
在$\triangle ADE$和$\triangle CDF$中，$\left\{\begin{array}{l}AE = CF\\\angle EAD=\angle C\\AD = CD\end{array}\right.$。
根据$SAS$（边角边）判定定理，可得$\triangle ADE\cong\triangle CDF$。
3. 接着，求四边形$AEDF$的面积：
因为$S_{四边形AEDF}=S_{\triangle ADE}+S_{\triangle ADF}$，又$S_{\triangle ADE}=S_{\triangle CDF}$。
所以$S_{四边形AEDF}=S_{\triangle CDF}+S_{\triangle ADF}$。
而$S_{\triangle CDF}+S_{\triangle ADF}=S_{\triangle ADC}$。
再根据三角形面积公式$S=\frac{1}{2}ah$（对于$\triangle ABC$，$a = AB$，$h = AC$），$S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}× AB× AC$，把$AB = AC = 6$代入，得$S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}×6×6 = 18$。
因为$D$是$BC$中点，所以$S_{\triangle ADC}=\frac{1}{2}S_{\triangle ABC}$（等底同高的三角形面积关系：中线将三角形分成面积相等的两部分）。
所以$S_{四边形AEDF}=S_{\triangle ADC}=\frac{1}{2}×\frac{1}{2}× AB× AC=\frac{1}{2}×18 = 9$。
故四边形$AEDF$的面积为$9$。

17 [2024新疆中考]如图,在$Rt\triangle ABC$中,$\angle C= 90^{\circ}$,$\angle A= 30^{\circ}$,$AB= 8$。若点$D在直线AB$上(不与点$A$,$B$重合),且$\angle BCD= 30^{\circ}$,则$AD$的长为____。

答案：
6 或 12 【解析】
∵ ∠ACB=90°，∠A=30°，AB=8，
∴ ∠B=60°，BC=$\frac{1}{2}$AB=4.①当点 D 在线段 AB 上时，如图
(1).

∵ ∠BCD=30°，∠B=60°，
∴ ∠BDC=90°，
∴ BD=$\frac{1}{2}$BC=2，
∴ AD=AB - BD=6.②当点 D 在线段 AB 的延长线上时，如图
(2).

∵ ∠BCD=30°，∠ABC=60°，
∴ ∠D=∠ABC - ∠BCD=30°=∠BCD，
∴ BC=BD=4，
∴ AD=AB+BD=12.③当点 D 在线段 BA 的延长线上时，如图
(3).

此时∠BCD＞∠ACB，即∠BCD＞90°，故不符合题意，舍去.综上，AD 的长为 6 或 12.