《2025年课时训练江苏人民出版社八年级数学上册苏科版》

11 传统文化 《九章算术》 勾股数是指能成为直角三角形三条边长的三个正整数,世界上第一次给出勾股数公式的是中国古代数学著作《九章算术》.现有勾股数 a,b,c,其中 a,b 均小于 c,a= $\frac{1}{2}m^{2}-\frac{1}{2}$,c= $\frac{1}{2}m^{2}+\frac{1}{2}$,m 是大于 1 的奇数,则 b= m(用含 m 的式子表示).

答案： m

12 如图,在△ABC 中,AD⊥BC,垂足为 D,若 CD= 1,AD= 2,BD= 4,试判断△ABC 的形状,并说明理由.
]

答案：
∵AD⊥BC，
∴∠ADC=∠ADB=90°.
∵CD=1，AD=2，BD=4，
∴根据勾股定理，得AC²=5，AB²=20.
∵BC²=(1+4)²=25，
∴AC²+AB²=BC²，
∴△ABC是直角三角形.

13 教材 P95 练习 T2·改编 (2025·扬州江都区期中)如图,有一张四边形纸片 ABCD,AB⊥BC.经测得 AB= 9 cm,BC= 12 cm,CD= 8 cm,AD= 17 cm.
(1)求 A,C 两点之间的距离；
(2)求这张纸片的面积.
]

答案：

(1)如图，连接AC.

在Rt△ABC中，AB⊥BC，AB=9 cm，BC=12 cm，
∴AC=√(AB²+BC²)=√(9²+12²)=15(cm).
故A，C两点之间的距离为15 cm.
(2)
∵CD²+AC²=8²+15²=17²=AD²，
∴∠ACD=90°，
∴四边形纸片ABCD的面积=S△ABC+S△ACD
=1/2AB·BC+1/2AC·CD
=1/2×9×12+1/2×15×8
=54+60=114(cm²).

14 如图,在△ABC 中,AB= 10,AC= 6,BC= 8,点 D 是 AB 的中点,连接 CD.
(1)若∠B= 50°,求∠DCA 的度数；
(2)若点 E 是 AB 上的一个动点,则线段 CE 的最小值为4.8.
]

(1)∵AB=10，AC=6，BC=8，
∴AC²+BC²=6²+8²=100，AB²=10²=100，
∴AC²+BC²=AB²，
∴△ABC是直角三角形，
∴∠ACB=90°.
∵点D是AB的中点，
∴CD=DB=1/2AB，
∴∠B=∠DCB=50°，
∴∠DCA=∠ACB-∠DCB=40°.
故∠DCA的度数为40°.

答案：
(1)
∵AB=10，AC=6，BC=8，
∴AC²+BC²=6²+8²=100，AB²=10²=100，
∴AC²+BC²=AB²，
∴△ABC是直角三角形，
∴∠ACB=90°.
∵点D是AB的中点，
∴CD=DB=1/2AB，
∴∠B=∠DCB=50°，
∴∠DCA=∠ACB-∠DCB=40°.
故∠DCA的度数为40°.
(2)4.8

15 中考新考法 证明一般结论 如图,在△ABC 中,∠A,∠B,∠C 所对的边分别为 a,b,c.
(1)若 a= 6,b= 8,c= 12,请直接写出∠A 与∠B 的和与∠C 的大小关系；
(2)求证：△ABC 的内角和等于 180°；
(3)若$\frac{a}{a-b+c}= \frac{\frac{1}{2}(a+b+c)}{c}$,求证：△ABC 是直角三角形.

答案：

(1)
∵在△ABC中，a=6，b=8，c=12，
∴∠A+∠B＜∠C.
→当c²＞a²+b²时，∠C为钝角
(2)如图，过点B作MN//AC.
∵MN//AC，
∴∠MBA=∠A，
∠NBC=∠C.

又∠MBA+∠ABC+∠NBC=180°，
∴∠A+∠ABC+∠C=180°.
即三角形三个内角的和等于180°.
(3)
∵a/(a - b + c)=(1/2(a + b + c))/c，
∴ac=1/2(a + b + c)·(a - b + c)=1/2[(a²+2ac+c²)-b²]，
∴2ac=a²+2ac+c²-b²，
∴a²+c²=b².
故△ABC是直角三角形.