《2025年课时训练江苏人民出版社八年级数学上册苏科版》

1 如图,$\angle ACB= 90^\circ$,$AC= BC$,$AD \perp CE$,$BE \perp CE$,垂足分别为$D$,$E$.$AD= 2.5\ \text{cm}$,$DE= 1.7\ \text{cm}$.求$BE$的长.

答案：
∵∠ACB=90°,
∴∠BCE+∠DCA=90°.
∵BE⊥CE,AD⊥CE,
∴∠BEC=∠CDA=90°.
则∠DCA+∠CAD=90°,
∴∠BCE=∠CAD.
在△CEB和△ADC中,∠BEC=∠CDA,∠BCE=∠CAD,
BC=CA,
∴△CEB≌△ADC(AAS),
∴BE=CD,CE=AD=2.5 cm.
又 DE=1.7 cm,
∴DC=CE-DE=2.5-1.7=0.8(cm),
∴BE=0.8 cm.
方法诠释 本题考查全等三角形的判定与性质,解答本题的关键是明确题意,找出所求问题需要的条件.

变式1.1 某学习小组在探究三角形全等时,发现了下面这种典型的基本图形.如图,已知:在$\triangle ABC$中,$\angle BAC= 90^\circ$,$AB= AC$,直线$l经过点A$,$BD \perp直线l$,$CE \perp直线l$,垂足分别为$D$,$E$.证明:$DE= BD+CE$.

答案：
∵BD⊥直线l,CE⊥直线l,
∴∠BDA=∠CEA=90°.
∵∠BAC=90°,
∴∠BAD+∠CAE=90°.
∵∠BAD+∠ABD=90°,
∴∠CAE=∠ABD.
在△ADB和△CEA中,∠ABD=∠CAE,
∠BDA=∠AEC,
AB=CA,
∴△ADB≌△CEA(AAS),
∴AE=BD,AD=CE,
∴DE=AE+AD=BD+CE.
解题关键 本题主要考查全等三角形的判定和性质,由条件证明三角形全等得到BD=AE,CE=AD是解题的关键.

变式1.2 如图,在$\triangle ABC$中,$AB= AC$,$D$,$A$,$E三点都在直线m$上,并且有$\angle BDA= \angle AEC= \angle BAC= \alpha$,其中$\alpha$为任意锐角或钝角.请问结论$DE= BD+CE$是否成立?若成立,请你给出证明;若不成立,请说明理由.

答案： DE=BD+CE成立.证明如下：
∵∠BDA=∠BAC=α,
∴∠DBA+∠BAD=∠BAD+∠CAE=180°-α,
∴∠DBA=∠CAE,
在△ADB和△CEA中,∠BDA=∠AEC,
∠DBA=∠EAC,
AB=CA,
∴△ADB≌△CEA(AAS),
∴AE=BD,AD=CE,
∴DE=AE+AD=BD+CE.

变式1.3 (1)如图(1),$AB \perp AD$,$ED \perp AD$,$AB= CD$,$AC= DE$,试说明$BC \perp CE$的理由;
(2)如图(2),若$\triangle ABC$向右平移,使得点$C移到点D$,$AB \perp AD$,$ED \perp AD$,$AB= CD$,$AD= DE$,探索$BD \perp CE$的结论是否成立,并说明理由.

答案：
(1)
∵AB⊥AD,ED⊥AD,
∴∠A=∠D=90°.
在△ABC和△DCE中,AB=DC,
∠A=∠D,
AC=DE,
∴△ABC≌△DCE(SAS),
∴∠B=∠DCE.
∵∠B+∠ACB=90°,
∴∠ACB+∠DCE=90°,
∴∠BCE=90°,即BC⊥CE.
(2)BD⊥CE仍成立.理由如下：
∵AB⊥AD,ED⊥AD,
∴∠A=∠CDE=90°.
在△ABD和△DCE中,AB=DC,
∠A=∠CDE,
AD=DE,
∴△ABD≌△DCE(SAS),
∴∠B=∠DCE.
∵∠B+∠ADB=90°,
∴∠ADB+∠DCE=90°,
∴BD⊥CE.