《2025年课时训练江苏人民出版社八年级数学上册苏科版》

8 (2025·三明三元区一模)为方便劳动技术小组实践教学,需用篱笆围一块三角形空地,现已连接好三段篱笆 AB,BC,CD,这三段篱笆的长度如图所示,其中篱笆 AB,CD 可分别绕轴 BE 和 CF转动. 若要围成一个三角形的空地,则在篱笆AB 上接上新的篱笆的长度可以为(D).

A.1m
B.2m
C.3m
D.4m

答案： D

9 已知 a,b,c 为△ABC 的三边,化简|a+b+c|-|a-b-c|-|a-b+c|-|a+b-c|,结果是(A).
A.0
B.2a+2b+2c
C.4a
D.2b-2c

答案： A

10 (2024·石家庄裕华区一模)如图,用四颗螺丝将不能弯曲的木条围成一个木框,不计螺丝大小,其中相邻两颗螺丝的距离依次为 4,5,6,9,且相邻两根木条的夹角均可以调整,若调整木条的夹角时不破坏此木框,则任意两颗螺丝的距离的最大值是(C).

A.7
B.10
C.11
D.14

答案： C

11 按要求完成下列各小题.
(1)在△ABC 中,AB= 8,BC= 2,AC 的长为偶数,求△ABC 的周长；
(2)已知△ABC 的三边长分别为 3,5,a,化简|a+1|-|a-8|-2|a-2|.

答案：
(1)由三角形的三边关系可知,8−2＜AC＜8+2,即6＜AC＜10.
∵AC为偶数，
∴AC=8,
∴△ABC的周长为8+2+8=18.
(2)
∵△ABC的三边长分别为3,5,a，
∴5−3＜a＜5+3,解得2＜a＜8,
∴|a+1|−|a−8|−2|a−2|=a+1−(8−a)−2(a−2)=a+1−8+a−2a+4=−3.

12 (2024·宿迁期末)已知 a,b,c 为△ABC 的三边长,且 a,b 满足|2a-b+2|$+(a+b-8)^2= 0.$
(1)求 c 的取值范围；
(2)在(1)的条件下,若 2x-c= 1,求 x 的取值范围.

答案：
(1)
∵|2a−b+2|+(a+b−8)²=0,
∴{2a - b + 2 = 0, a + b - 8 = 0},解得a=2,b=6.
∵6−2=4,6+2=8,
∴4＜c＜8,
∴c的取值范围为4＜c＜8.
(2)
∵2x−c=1,
∴c=2x−1,
∴4＜2x−1＜8,
∴$\frac{5}{2}$＜x＜$\frac{9}{2}$,
∴x的取值范围为$\frac{5}{2}$＜x＜$\frac{9}{2}$.

13 转化思想 将 a 克糖放入水中,得到 b 克糖水,此时糖水的浓度为$\frac{a}{b}(b＞a＞0)$.
(1)再往杯中加入 m(m＞0)克糖,生活经验告诉我们糖水变甜了,用数学关系式可以表示为$\frac{a + m}{b + m}$＞$\frac{a}{b}$；
(2)请证明(1)中的数学关系式；
(2)利用作差法比较大小:
　　$\frac{a + m}{b + m}$−$\frac{a}{b}$=$\frac{b(a + m)}{b(b + m)}$−$\frac{a(b + m)}{b(b + m)}$=$\frac{bm - am}{b(b + m)}$=$\frac{m(b - a)}{b(b + m)}$.
∵m＞0,b＞a＞0,
∴b−a＞0,b+m＞0,即$\frac{m(b - a)}{b(b + m)}$＞0,
∴$\frac{a + m}{b + m}$−$\frac{a}{b}$＞0,即$\frac{a + m}{b + m}$＞$\frac{a}{b}$.
(3)在△ABC 中,三条边的长度分别为 a,b,c,证明：$\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}＜2$.(3)在△ABC中,a＞0,b＞0,c＞0,
由糖水不等式可得$\frac{a}{b + c}$＜$\frac{a + a}{b + c + a}$,$\frac{b}{c + a}$＜$\frac{b + b}{c + a + b}$,$\frac{c}{b + a}$＜$\frac{c + c}{a + b + c}$,
∴$\frac{a}{b + c}$+$\frac{b}{c + a}$+$\frac{c}{a + b}$＜$\frac{a + a}{b + c + a}$+$\frac{b + b}{c + a + b}$+$\frac{c + c}{a + b + c}$=2,
∴$\frac{a}{b + c}$+$\frac{b}{c + a}$+$\frac{c}{a + b}$＜2.

答案：
(1)$\frac{a + m}{b + m}$＞$\frac{a}{b}$
(2)利用作差法比较大小:
　　$\frac{a + m}{b + m}$−$\frac{a}{b}$=$\frac{b(a + m)}{b(b + m)}$−$\frac{a(b + m)}{b(b + m)}$=$\frac{bm - am}{b(b + m)}$=$\frac{m(b - a)}{b(b + m)}$.
∵m＞0,b＞a＞0,
∴b−a＞0,b+m＞0,即$\frac{m(b - a)}{b(b + m)}$＞0,
∴$\frac{a + m}{b + m}$−$\frac{a}{b}$＞0,即$\frac{a + m}{b + m}$＞$\frac{a}{b}$.
(3)在△ABC中,a＞0,b＞0,c＞0,
由糖水不等式可得$\frac{a}{b + c}$＜$\frac{a + a}{b + c + a}$,$\frac{b}{c + a}$＜$\frac{b + b}{c + a + b}$,$\frac{c}{b + a}$＜$\frac{c + c}{a + b + c}$,
∴$\frac{a}{b + c}$+$\frac{b}{c + a}$+$\frac{c}{a + b}$＜$\frac{a + a}{b + c + a}$+$\frac{b + b}{c + a + b}$+$\frac{c + c}{a + b + c}$=2,
∴$\frac{a}{b + c}$+$\frac{b}{c + a}$+$\frac{c}{a + b}$＜2.