《2025年课时训练江苏人民出版社八年级数学上册苏科版》

10(2025·南通启东期中)已知,在△ABC 中,DE 垂直平分边 AB,分别交 AB,BC 于点 D,E,MN垂直平分边 AC,分别交 AC,BC 于点 M,N.

(1)如图(1),若∠BAC= 108°,求∠EAN 的度数；
(2)如图(2),若∠BAC= 78°,求∠EAN 的度数；
(3)通过以上的探索过程,请根据图(1)与图(2)分别写出∠EAN 与∠B,∠C 之间的数量关系,并说明理由.

答案：
(1)
∵DE垂直平分AB,
∴EA=EB,
∴∠B=∠EAB.
同理∠C=∠CAN,
∴∠EAB+∠CAN=∠B+∠C=180°−∠BAC,
∴∠EAN=∠BAC−(180°−∠BAC)=2∠BAC−180°=2×108°−180°=36°.
(2)由
(1)可知,∠B=∠EAB,∠C=∠CAN,
∴∠EAB+∠CAN=∠B+∠C=180°−∠BAC,
∴∠EAN=∠EAB+∠CAN−∠BAC=180°−2∠BAC=180°−2×78°=24°.
(3)由题图
(1)知当90°＜∠BAC＜180°时,
∠EAN=2∠BAC−180°=2(180°−∠B−∠C)−180°=180°−2(∠B+∠C).
由题图
(2)知当0°＜∠BAC＜90°时,
∠EAN=180°−2∠BAC=180°−2(180°−∠B−∠C)=2(∠B+∠C)−180°.

11 传统文化 古诗词理解 (2025·山东德州乐陵期末)综合与实践
[提出问题]
唐朝诗人李颀的诗《古从军行》开头两句“白日登山望烽火,黄昏饮马傍交河”中隐含着一个有趣的数学问题——将军饮马.如图(1),将军从山脚下的点 A 出发,到达河岸点 P 饮马后再回到点 B 宿营,他时常想,怎么走,才能使他每天走的路程之和最短呢？
[分析问题]
小亮：如图(2),作 B 关于直线 l 的对称点 B',连接 AB'与直线 l 交于点 C,点 C 就是饮马的地方,此时所走的路程就是最短的.
小慧：你能详细解释为什么吗？

小亮：如图(3),在直线 l 上另取任一点 C',连接 AC',BC',B'C',我只要证明 AC+CB＜AC'+C'B.
∵直线 l 是点 B,B'的对称轴,点 C,C'在 l上,∴CB= ______,C'B= ______.
[解决问题]
如图(4),将军牵马从军营 P 处出发,到河流 OA 饮马,再到草地 OB 吃草,最后回到 P 处,试分别在边 OA 和OB 上各找一点 E,F,使得走过的路程最短(保留画图痕迹,辅助线用虚线,最短路径用实线).

答案：
[分析问题]CB'　C'B'
[解决问题]如图所示,
分别作点P关于OA,OB的对称点C,D,连接CD分别交OA,OB于点E,F,则路线PE,EF,PF即为所求.
∵CE=PE,DF=PF,
∴PE+EF+PF=CE+EF+DF,根据两点之间线段最短可得路线PE,EF,PF即为所求.