《2025年课时训练江苏人民出版社八年级数学上册苏科版》

5 如图,在四边形 ABCD 中,∠ABC= ∠ADC= 90°,点 E 是 AC 的中点,点 F 是 BD 的中点.
(1)求证:EF⊥BD；
(2)若∠BED= 90°,求∠BCD 的度数；
(3)若∠BED= α,直接写出∠BCD 的度数.(用含α的代数式表示)

答案： 5.
(1)
∵∠ABC=∠ADC=90°，点E是AC的中点，
∴DE=$\frac{1}{2}$AC，BE=$\frac{1}{2}$AC，
∴DE=BE.
∵点F是BD的中点，
∴EF⊥BD.
(2)
∵∠ABC=∠ADC=90°，点E是AC的中点，
∴DE=$\frac{1}{2}$AC=EC，BE=$\frac{1}{2}$AC=EC.
∴∠EDC=∠DCE，∠EBC=∠ECB.
∵在四边形DEBC中，∠EDC+∠DCE+∠ECB+∠EBC+∠DEB=360°.又∠DEB=90°，
∴∠EDC+∠DCE+∠ECB+∠EBC=360°−∠DEB=360°−90°=270°.
∴2∠DCE+2∠ECB=270°.
∴∠DCE+∠ECB=135°，即∠BCD=135°.
(3)若∠BED=α，则∠BCD=180°−$\frac{1}{2}$α.理由如下:
∵∠ABC=∠ADC=90°，点E是AC的中点，
∴DE=$\frac{1}{2}$AC=EC，BE=$\frac{1}{2}$AC=EC.
∴∠EDC=∠DCE，∠EBC=∠ECB.
∵在四边形DEBC中，∠EDC+∠DCE+∠ECB+∠EBC+∠BED=360°.又∠BED=α，
∴∠EDC+∠DCE+∠ECB+∠EBC=360°−∠BED=360°−α，
∴2∠DCE+2∠ECB=360°−α.
∴∠DCE+∠ECB=180°−$\frac{1}{2}$α，
　即∠BCD=180°−$\frac{1}{2}$α.

6 如图,在△ABC 中,∠A= 60°,点 D 是 BC 的中点,CE⊥AB,BF⊥AC,垂足分别为 E,F,连接 DE,DF,EF.
求证:△DEF 为等边三角形.

答案： 6.
∵CE⊥AB，BF⊥AC，
∴∠AEC=∠BEC=∠AFB=∠BFC=90°.
∵∠A=60°，
∴∠ABF=∠ACE=30°.
∴∠FBC+∠ECB=90°−∠ACE=60°.
∵点D是BC的中点，
∴DE=CD=$\frac{1}{2}$BC，DF=BD=$\frac{1}{2}$BC，
∴∠DEC=∠DCE，∠DBF=∠DFB，DE=DF.
∵∠BDE=∠DEC+∠DCE=2∠DCE，∠CDF=∠DBF+∠DFB=2∠DBF，
∴∠CDF+∠BDE=2∠DBF+2∠DCE=2×60°=120°，
∴∠EDF=60°，
∴△DEF为等边三角形.

7 一题多问(2025·连云港灌南期中)在边长为9的等边三角形 ABC 中,点 P 是 AB 上一动点,以每秒1个单位长度的速度从点 A 向点 B 运动,设运动时间为 t 秒.
(1)如图(1),若点 Q 是 BC 上一定点,BQ= 6,PQ//AC,求 t 的值.
(2)如图(2),若点 P 从点 A 向点 B 运动,同时点 Q 以每秒2个单位长度的速度从点 B 经点 C 向点 A 运动,当 t 为何值时,△APQ 为等边三角形?

答案：
7.
(1)
∵△ABC是等边三角形，PQ//AC，
∴∠BQP=∠C=60°，∠BPQ=∠A=60°.
　又∠B=60°，
∴∠B=∠BQP=∠BPQ，
∴△BPQ是等边三角形，
∴BP=BQ.
　由题意可知，AP=t，则BP=9−t.
∴9−t=6，解得t=3，
∴当t的值为3时，PQ//AC.
(2)①如图
(1)，当点Q在边BC上时，
　此时△APQ不可能为等边三角形；
　②如图
(2)，当点Q在边AC上时，
　若△APQ为等边三角形，则AP=AQ.
　由题意可知，AP=t，BC+CQ=2t.
∴AQ=BC+AC−(BC+CQ)=9+9−2t=18−2t，即18−2t=t，解得t=6.
　综上所述，当t=6时，△APQ为等边三角形.