《2025年课时训练江苏人民出版社八年级数学上册苏科版》

11 已知一个等腰三角形的周长为45 cm,若一腰上的中线将这个三角形的周长分为3∶2的两部分,则这个等腰三角形的腰长为18cm或12cm.

答案： 18cm或12cm

12 (2025·苏州姑苏区期中)如图,已知 AB= AC= AD,
(1)如图(1),若∠D= 32°,∠BAC= 20°,则∠DBC= ______°；
(2)如图(2),当∠BCA= 2∠ADB 时,
①求证:AD//BC；
②过点 D 作 DE⊥AB,垂足为 E.若 DE= 6 cm,求点 D 到 AC 的距离.

(1)48
(2)①证明：设∠ADB=α，则∠BCA=2∠ADB=2α.
∵AB=AD，∠ADB=α，
∴∠ABD=∠ADB=α，
∴∠BAD=180°−2α.
∵AB=AC，∠BCA=2α，
∴∠ABC=∠BCA=2α，
∴∠BAC=180°−4α，
∴∠DAC=∠BAD−∠BAC=180°−2α−(180°−4α)=2α，
∴∠DAC=∠BCA=2α，
∴AD//BC.
②6 cm

答案：
(1)48
(2)①设∠ADB=α，则∠BCA=2∠ADB=2α.
∵AB=AD，∠ADB=α，
∴∠ABD=∠ADB=α，
∴∠BAD=180°−2α.
∵AB=AC，∠BCA=2α，
∴∠ABC=∠BCA=2α，
∴∠BAC=180°−4α，
∴∠DAC=∠BAD−∠BAC=180°−2α−(180°−4α)=2α，
∴∠DAC=∠BCA=2α，
∴AD//BC.②过点D作DF⊥AC于点F，如图所示.
∵AD//BC，
∴∠EAD=∠ABC=2α.又∠DAC=2α，
∴∠EAD=∠DAC=2α，
∴AD是∠EAC的平分线.又DE⊥AB，DE=6cm，DF⊥AC，
∴DF=DE=6cm，
∴点D到AC的距离是6cm.归纳总结　本题主要考查了等腰三角形的性质、平行线的判定与性质，熟练掌握等腰三角形的性质、平行线的判定与性质是解决问题的关键.

13 中考新考法 新定义问题 我们知道:过三角形的顶点引一条直线,可以将它分割成两个小三角形.如果每个小三角形都有两个相等的内角,则我们称这条直线为原三角形的“美丽线”.
如图(1),直线 CD 为△ABC 的“美丽线”.

(1)如图(2),在△ABC 中,∠A= 90°,∠C= 35°,请利用直尺和量角器在图(2)中画出△ABC 的“美丽线”(标出所得三角形的内角度数,不要求写画法)；
(2)在△ABC 中,∠A= α,∠B= β(α≤β).若△ABC 存在过点 C 的“美丽线”,试探究 α 与 β 的关系.下面是对这个问题的部分探究过程：
设 CD 为△ABC 的“美丽线”,点 D 在边 AB 上,则△ACD 与△BCD 中各有两个相等的内角.
探究 1：
如图(3),当∠ACD= ∠ADC 时,因为∠A= α,所以∠ADC= ______,且∠ADC 为锐角,则∠CDB 为钝角,所以在△CDB 中,∠DCB= ∠B= β.由此可以得到 α 与 β 的关系为______,其中 α 的取值范围为______；
探究 2：
借助图(4),请你继续完成本问题的探究,直接写出 α 与 β 的关系.

答案：

(1)如图
(1)，AD即为△ABC的“美丽线”.
(2)探究1：$\frac{180^{\circ}-\alpha}{2}$ $\alpha=180^{\circ}-4\beta$ $0^{\circ}＜\alpha\leq36^{\circ}$探究2：分情况讨论：①如图
(2)，当∠ACD=∠A=α，∠CDB=∠B=β时.
∵∠BDC=∠A+∠ACD，
∴β=2α，其中α的取值范围为$0^{\circ}＜\alpha＜45^{\circ}$.②当∠A=∠ACD，∠BCD=∠BDC时，则$\angle BDC=\frac{1}{2}(180^{\circ}-\angle B)=90^{\circ}-\frac{1}{2}\beta$.
∵∠BDC=∠A+∠ACD，
∴$90^{\circ}-\frac{1}{2}\beta=2\alpha$，整理，得$4\alpha+\beta=180^{\circ}$.③当∠A=∠ACD，∠B=∠BCD时，则∠BDC=180°−∠B−∠BCD=180°−2β.
∵∠BDC=∠A+∠ACD，
∴180°−2β=2α，整理，得α+β=90°.④当∠ACD=∠ADC，∠DCB=∠B=β时，由探究1可知，α=180°−4β，
∴α+4β=180°.综上所述，α与β的关系为β=2α或$4\alpha+\beta=180^{\circ}$或α+β=90°或$\alpha+4\beta=180^{\circ}$.素养导向 本题是三角形综合题，考查了新定义“美丽线”，三角形内角和定理以及三角形的外角性质等知识，本题综合性强，理解新定义“美丽线”，熟练掌握三角形内角和定理是解题的关键.