《2025年课时训练江苏人民出版社八年级数学上册苏科版》

变式1.4 在$\triangle ABC$中,$\angle ACB= 90^\circ$,$AC= BC$,直线$MN经过点C$,且$AD \perp MN于点D$,$BE \perp MN于点E$.
(1)当直线$MN绕点C$旋转到图(1)的位置时,求证:①$\triangle ADC \cong \triangle CEB$;②$DE= AD+BE$.
(2)当直线$MN绕点C$旋转到图(2)的位置时,(1)中的结论还成立吗?若成立,请给出证明;若不成立,请说明理由.

答案：
(1)①
∵∠ACD+∠BCE=90°,∠DAC+∠ACD=90°,
∴∠DAC=∠ECB.
在△ADC和△CEB中,∠ADC=∠CEB=90°,
∠DAC=∠ECB,
AC=CB,
∴△ADC≌△CEB(AAS).
②
∵△ADC≌△CEB,
∴CD=BE,AD=CE.
∴DE=CE+CD=AD+BE.
(2)△ADC≌△CEB成立,DE=AD+BE不成立,此时应有DE=AD-BE.理由如下：
∵∠ACD+∠BCE=90°,∠DAC+∠ACD=90°,
∴∠DAC=∠BCE.
又AC=BC,∠ADC=∠BEC=90°,
∴△ADC≌△CEB(AAS).
∴CD=BE,AD=CE.
∴DE=AD-BE.

2 如图,$\angle B= \angle C= 90^\circ$,$E是BC$的中点,$DE平分\angle ADC$.求证:$AE是\angle DAB$的平分线.

答案：
如图,过点E作EF⊥AD于点F.
∵DE平分∠ADC,
∴∠FDE=∠CDE.
在△DCE和△DFE中,
∠C=∠DFE,
∠CDE=∠FDE,
DE=DE,
∴△DCE≌△DFE(AAS),
∴CE=EF,DC=DF,∠CED=∠FED.
∵E是BC的中点,
∴CE=EB,
∴EF=EB.
在Rt△ABE和Rt△AFE中,BE=FE,
AE=AE,
∴Rt△ABE≌Rt△AFE(HL),
∴∠FAE=∠BAE,
∴AE是∠DAB的平分线.
归纳总结 此题主要考查了全等三角形的判定和性质、角平分线的性质,难点是正确地作出辅助线,构造全等三角形.

变式2.1 如图,$\angle B= 90^\circ$,$\angle C= 90^\circ$,$E为BC$的中点,$DE平分\angle ADC$.求证:
(1)$AE \perp DE$;
(2)$AD= DC+AB$.

答案：

(1)如图,过点E作EF⊥AD于点F.
易知∠DFE=90°,
则∠DFE=∠C.
∵DE平分∠ADC,
∴∠FDE=∠CDE.
在△DCE和△DFE中,
∠C=∠DFE,
∠CDE=∠FDE,
DE=DE,
∴△DCE≌△DFE(AAS),
∴CE=EF,DC=DF,∠CED=∠FED.
∵E是BC的中点,
∴CE=EB,
∴EF=EB.
在Rt△ABE和Rt△AFE中,BE=FE,
AE=AE,
∴Rt△ABE≌Rt△AFE(HL),
∴AF=AB,∠AEF=∠AEB.
又∠CED=∠FED,∠CED+∠FED+∠AEF+∠AEB=180°,
∴∠AEF+∠DEF=90°,
∴∠AED=90°,
∴AE⊥DE.
(2)由
(1),得DC=DF,AB=AF,
∴AD=DF+AF=DC+AB.
归纳总结 此题主要考查了全等三角形的判定和性质、角平分线的性质等知识,灵活运用这些性质解决问题是解题的关键.

变式2.2 如图,$AB // CD$,点$E在BC$上,$AE平分\angle BAD$,$DE平分\angle ADC$.求证:$EB= EC$.

答案：
如图,延长AE,DC相交于点M.
∵AB//DC,
∴∠DAB+∠ADC=180°,∠BAE=∠M.
∵AE,DE分别平分∠BAD,∠ADC,
∴∠BAE=∠DAE,∠ADE=∠MDE,
∴∠EAD+∠ADE=90°,
∴∠DEM=∠AED=90°.
在△ADE和△MDE中,∠ADE=∠MDE,
DE=DE,
∠AED=∠MED,
∴△ADE≌△MDE(ASA),
∴AE=ME.
在△ABE和△MCE中,∠AEB=∠MEC,
AE=ME,
∠BAE=∠M,
∴△ABE≌△MCE(ASA),
∴EB=EC.
知识拓展 此题主要考查了全等三角形的判定和性质,难点是正确地作出辅助线,构造全等三角形.